Matematické Fórum

honyik · 06. 04. 2014 17:35

Zdravím,
mám problém s tímto příkladem:

$\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\cdot \frac{1}{2x^{2}}\cdot dx$

Měl bych to počítat substitucí:

$t=\frac{1}{x^{2}}$
$x=\sqrt{\frac{1}{t}}$

$dt=-2\cdot x^{-3}\cdot dx$
$dx = \frac{x^{3}\cdot dt}{-2}$

Dosadím:
$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{t}}}\cdot \frac{1}{2}\cdot t\cdot \frac{t^{3}\cdot dt}{-2}$

Odtud nevím, jak dojít k:
$\int_{}^{}\frac{1}{4}\cdot \sqrt{\frac{1}{t-1}}\cdot dt$

Jj · 06. 04. 2014 18:31

↑ honyik:

Dobrý večer.

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot \frac{dx}{2x^2}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}}\cdot \frac{dx}{x^3}$

A teď Vámi uvedená substituce $\frac{1}{x^{2}}=t,\; \frac{dx}{x^3}= -1/2 \; dt$

honyik · 06. 04. 2014 20:02

Jo aha, děkuju moc :)

Freedy · 06. 04. 2014 22:48

Ahoj, a co tohle?
$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{2x^2\sqrt{1-x^2}}$
substituce:
$x=\sin y$
$\text{d}x=\cos (y)\text{dy}$
$\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{\cos y}{\sin ^2y\sqrt{1-\sin ^2y}}\text{d}y=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{\sin ^2y}\text{d}y$
$\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{1}{\sin ^2y}\text{d}y=-\frac{1}{2}\text{cotg}y$
zpět k substituci
$x=\sin y$
$y=\text{arcsin}(x)$
$-\frac{1}{2}\text{cotg}(\text{arcsin(x))} = -\frac{\cos (\text{arcsin}(x))}{2\sin (\text{arcsin}(x))}=-\frac{\sqrt{1-x^2}}{2x}$

Matematické Fórum

#1 06. 04. 2014 17:35

Integrál

#2 06. 04. 2014 18:31

Re: Integrál

#3 06. 04. 2014 20:02

Re: Integrál

#4 06. 04. 2014 22:48

Re: Integrál

Zápatí