Matematické Fórum

LuuLuu · 28. 03. 2014 12:35

Ahoj, prosím můžete mi poradit.
Mám sestrojit obdélník ABCD a mám daný obvod o=8cm a velikost úhlu úhlopříček 50°.
Předem mockrát děkuji.

marnes · 28. 03. 2014 12:58

↑ LuuLuu:

Zatím mě nenapadá čistě konstrukční řešení. Pokud bych mohl i počítat, tak platí

$\text{tg}25^{0}=\frac{a}{b}$ a

$a+b=4$

proto

$\text{tg}25^{0}=\frac{4-b}{b}$

dopočítal a a b

Jj · 28. 03. 2014 13:26

↑ LuuLuu:

Dobrý den, viz obrázek.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

byk7 · 28. 03. 2014 13:31

Sestroj trojúhelník A'B'C' takový, že |A'B'|=o, |∠C'A'B'|=65° a |∠A'B'C'|=45° podle věty usu. Sestroj výšku z vrcholu C' a její patu označ B. Obrazem strany A'C' ve stejnolehlosti se středem v bodě B a koeficientem 1/2 bude úsečka AC, nyní už jenom najdeme bod D, např. jako obraz bodu B ve středové souměrnosti se středem ve středu úsečky AC.

LuuLuu · 28. 03. 2014 13:34

↑ Jj:
úplně ten obrázek nechápu, resp. nevím jak si ho mam převédst na můj příklad.. nemohl bys nějakou podrobnější radu?

LuuLuu · 28. 03. 2014 13:49

↑ byk7:
Díky mooc..

Jj · 28. 03. 2014 16:40

↑ LuuLuu:

Ten obrázek je na daný příklad:

Máme úsečku AP délky 4 cm (= polovina obvodu hledaného obdélníka), a

- z počátku úsečky (z bodu A) vedeme přímku pod úhlem 25°, na níž leží úhlopříčka hledaného obdélníka (25° = 50°/2), čili někde na této přímce leží bod C obdélníka,

- přímka vedená z bodu P pod úhlem 45° = množina bodů, na níž také může ležet bod C hledaného obdélníka (= množina možných poloh bodu C při pohyblivém bodu B, čili vzdálenost AB + BC = vždy 4).

Takže bod C obdélníka bude ležet na průsečíku uvedených přímek, bod B pak bude ležet na kolmici spuštěné z bodu C na úsečku AP. Bod D obdélníka už je jasný.

Rumburak

↑ LuuLuu:

Ahoj.

Další způsob konstrukce:

Pokud se zpočátku nebudeme starat o obvod, pak není těžké sestrojit nějaký "pomocný" obdélník, jehož úhlopříčky svírají daný úhel.
(Narýsujeme přímky svírající takový úhel a dále sestrojíme nějakou kružnici se středem v jejich průsečíku. Průsečíky této kružnice
s přímkami budou vrcholy pomocného obdélníka.) Cílový obdélník bude s pomocným obdélníkem podobný.
Máme-li již takový pomocný obdélník se stranani $a' , b'$ , pak umíme libovolnou úsečku rozdělit v poměru $\frac {a'}{b'}$ (například pomocí
čtvrté geometrické úměrné). Rozdělíme-li v tomto poměru úsečku délky 4 cm, což je polovina obvodu cílového obdélníka s neznámými
stranami $a, b$ , získáme úsečky shodné s těmito stranami.

LuuLuu · 07. 04. 2014 14:59 — Editoval LuuLuu (07. 04. 2014 15:03)

↑ Rumburak:
Ahoj prosím nemohl bys mi podrobněji vysvětlit jak se rozděluje úsečka 4 cm podle poměru těch stran a´ a b´? Čtvrtou geometrickou úměrnou jsme asi nebrali..

LuuLuu · 07. 04. 2014 15:01

↑ byk7:
Ahoj, prosím tě podle tvého postupu mi to krásně vyšlo, ale učitelka řekla, že nechápe proč to tak je. Existuje nějaké vysvětlení proč mám použít pomocný trojúhelník a jak velké úhly má mít?

Rumburak · 07. 04. 2014 16:28

↑ LuuLuu:

Ahoj. Takže:

Jsou dány úsečky délek $c , a' , b'$ a chceme první z nich rozdělit na dvě části v poměru $a' : b'$ . Řešení:

1. Sestrojíme nějaký dutý úhel $\angle XVY$ (jehož vrchol je $V$ a ramena jsou polopřímky $VX, VY$ )

2. Na polopřímce $VX$ sestrojíme bod $C$ tak, aby $|VC| = c$ .

3. Na polopřímce $VY$ sestorjíme body $A, B$ tak, aby platilo

(3a) $|VA| = a'$ ,
(3b) $|AB| = b'$ ,
(3c) bod $A$ je vnitřním bodem úsečky $VB$ .

4. Body $B, C$ určují přímku $p$ , která jimi prochází.

5. Bodem $A$ vedeme přímku $q$ rovnoběžnou s $p$ .

6. Prímka $p$ protne polopřímku $VX$ v bodě $Q$ , který je vnitřním bodem úsešky $VC$ . Při tom platí

$|VQ|:|QC| = |VA|:|AB| = a':b'$ .

Náznak důkazu: Trojúhelníky $\Delta VAQ, \Delta VBC$ jsou podobné (podle věty uu).

LuuLuu · 09. 04. 2014 09:26

↑ Rumburak:
ahoj, takhle mi sice vyjde ten obvod ale už zase nevyjde ten úhel úhlopříček obdélníka 50°..

LuuLuu · 09. 04. 2014 09:33

↑ byk7:

Sestroj trojúhelník A'B'C' takový, že |A'B'|=o, |∠C'A'B'|=65° a |∠A'B'C'|=45° podle věty usu. Sestroj výšku z vrcholu C' a její patu označ B. Obrazem strany A'C' ve stejnolehlosti se středem v bodě B a koeficientem 1/2 bude úsečka AC, nyní už jenom najdeme bod D, např. jako obraz bodu B ve středové souměrnosti se středem ve středu úsečky AC.

tato tvoje rada vyjde perfektně, jen nevím jak mám obhájit proč jsou ty úhly trojúhelníka takové jde to nějak spočítat? prosím tě o radu, mooc děkuji :-)

Rumburak

↑ LuuLuu:
Vyjde i úhel.
Jestliže pro kladná čísla $a, b, a', b'$ platí $a:b =a':b'$ , pak pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnami $a, b$ resp. $a', b'$
jsou podobné. Doplníme-li každý z nich na obdélník (o rozměrech $a, b$ resp. $a', b'$ ), pak i tyto obdélníky jsou podobné
a tudíž se shodují v odchylce svých úhlopříček. Pokud Ti to nevyšlo, tak máš někde v konstrukci chybu.

Rumburak

↑ LuuLuu:

Ten dutý úhel může mít teoreticky kteroukoliv velikost v rozahu $(0^{\circ}, 180^{\circ})$ , ale pro přesnost konstrukce
je výhodné volit ji tak, aby úhel, pod nímž přímky p, q protínají rameno VX, nybyl příliš ostrý.

V prvé fázi se na ten obdélník možná vykašli, dokud se nenaaučíš bezpečně zvládat to dělení úsečky v poměru délek úseček jiných.

V té úloze pak nezapomeň, že nedělíš celý obvod obdélníka, ale pouze jeho polovinu.

byk7 · 09. 04. 2014 10:46

↑ LuuLuu:

Ahoj, nechť S je průsečík úhlopříček. Pak |∠ASB|=50°, z toho se dá dopočítat |∠CAB|=65°.
Když pak uvážíš rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník CBB', kde bod B' leží na polopřímce opačné k BA,
jaké velikosti budou mít úhly ∠AB'C a ∠ACB'?

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2014 12:35

Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#2 28. 03. 2014 12:58

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#3 28. 03. 2014 13:26

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#4 28. 03. 2014 13:31

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#5 28. 03. 2014 13:34

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#6 28. 03. 2014 13:49

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#7 28. 03. 2014 16:40

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#8 28. 03. 2014 16:43 — Editoval Rumburak (28. 03. 2014 17:32)

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#9 07. 04. 2014 14:59 — Editoval LuuLuu (07. 04. 2014 15:03)

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#10 07. 04. 2014 15:01

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#11 07. 04. 2014 16:28

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#12 09. 04. 2014 09:26

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#13 09. 04. 2014 09:33

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#14 09. 04. 2014 09:46 — Editoval Rumburak (09. 04. 2014 11:34)

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#15 09. 04. 2014 10:00 Příspěvek uživatele LuuLuu byl skryt uživatelem LuuLuu.

#16 09. 04. 2014 10:16 — Editoval Rumburak (09. 04. 2014 10:54)

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

#17 09. 04. 2014 10:46

Re: Konstrukce obdélníka, je-li dán obvod a úhel úhlopříček.

Zápatí