Matematické Fórum

TerezaG

Dobrý den, mám docela velký problém s řešením extrémů funkce.
Typ příkladu zní následovně:

Najděte lokální extrémy funkce $f(x,y)=x^2+y^2$ za podmínky $x^2+3xy+y^2+4=0$ .

Chápu princip řešení, kde využívám vlastně Langrangeovu metodu a vyrábím jakoby pomocnou funkci, kterou potom derivuji podle x, podle y .. poté řeším determinant, neboli soustavu rovnic, abych zjistila nějaké číslo lambda, které dosadím zpět do derivace, to, co mi výjde, dosazuji do počáteční podmínky a výjde mi nějaký bod - který je podezřelý z extrému ...vše zakončím druhým diferenciálem, který rozhodne o existenci extrému a tom, jestli se jedná o minimum, nebo o maximum...

Pokud jsem se někde sekla, tak.. mně prosím opravte.

Přidávám zde mé řešení daného příkladu, který mi bohužel ne a ne vyjít... zároveň se omlouvám za porušení pravidel, ale pokud bych vše měla opisovat, tak bych nad tím strávila moře času..

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/53396_DSC_2737.JPG

Netuším, kde může být chyba, řekla bych, že bude problém hned někde u vyjadřování lambdy, nebo u determinantu... postup je snad správný.

Řešení má být : lokální minimum 8 v bodech $[2, -2]$ a $[-2, 2]$ , lokální maxima funkce nemá.

Budu moc vděčná za rady.

Děkuji mnohokrát.

Rumburak · 09. 04. 2014 16:49

Ahoj.
Bohužel Tvé výpočty jsou pro mne málo čitelné.
Navrhoval bych úlohu početně zjednodušit substitucí $x+y = u, xy = v$ . Pak budeme hledat
extrémy funkce $u^2 - 2v$ při vazební podmínce $u^2 + v + 4 = 0$ .

TerezaG · 09. 04. 2014 16:52

↑ Rumburak:
Snažila jsem se vložené obrázky nějak upravit na čitelné, ale bohužel se mi to nepovedlo. To se omlouvám.

Máme právě využívat postup, který jsem popsala výše. Tudíž bych se do vazeb nerada pouštěla :(

Děkuji.

Rumburak · 09. 04. 2014 17:01

↑ TerezaG:

... Tudíž bych se do vazeb nerada pouštěla ...

Tak tomu moc nerozumím , vždyť od začtku jde o úlohu na extrém s vazbou - úlohy tohoto typu se tak nazývají.
Pouze mne napadlo, že při téže metodě řešení (pomocí Lagrageova multiplikátoru) by se výpočet mohl přechodem
k novým proměnným poněkud zjednodušit, což by jistě i vyučující ocenil.

TerezaG · 09. 04. 2014 17:02

↑ Rumburak:

Tak to tedy zkusíme, akorát nevím, jak začít :(

TerezaG

↑ Rumburak:
Budu mít tedy funkci $f(x,y)=u^2$ a podmínku $u^2+3v+4=0$

$L:$ pak bude $u^2+\lambda (u^2+v+4)$

z tohoto vyjádřím lambdu ... nebo co bude dál ? :)

Rumburak

↑ TerezaG:

Označíme $F(u, v) := u^2 - 2v , G(u,v) := u^2 + v + 4$ , takže parc. derivace budou

$F_u(u,v) = 2u , F_v(u,v) = -2$ ,
$G_u(u,v) = 2u , G_v(u,v) = 1$ .

Z nich sestavený detrminant je roven nule (což je exvivalentní podmínce, že existuje $\lambda$ takové, že
$\nabla G(u,v) = \lambda \cdot \nabla G(u,v)$ ), právě když $u = 0$ .
Z vazební podmínky $G(u,v) = 0$ pak plyne $v = -4$ . Našli jsme tak jediný stacionární bod $A[0, -4]$ ,
o němž je potřeba rozhodnout, zda v něm extrém je a jakého je případně typu atd.

Nazávěr přejdeme k původním proměnným x, y .

vanok · 09. 04. 2014 17:30 — Editoval vanok (10. 04. 2014 03:50)

pozdravujem ↑ TerezaG:,↑ Rumburak:,

Vylustil som z casti tvoje vypocty.

normalne mas hladat riesenie
$\frac {\delta (f (x,y)- \lambda g(x,y)}{\delta x} =0$
$\frac {\delta (f (x,y)- \lambda g(x,y)}{\delta y}=0$
$g(x,y)=0$

Ale neviem, ci tvoje riesenie to splnuje a ci tam niekde nie je chyba.

TerezaG · 09. 04. 2014 17:38

↑ Rumburak:
Nerozumím tomu, kde se vzalo $u^2-2v$ a ta funkce pak u $G$ :/

Ten bod, který vám vyšel však neodpovídá řešení, které má vyjít ... a jak se potom mám tedy vrátit k původním proměnným ? až po vyřešení druhého diferenciálu ?

TerezaG · 09. 04. 2014 17:39

↑ vanok:
Je možné, nebo spíše zcela jasné, že jsem někde nedělala to, co jsem dělat měla.
Ale bohužel jsem nepochopila, kde je chyba, kterou jste mi naznačil ... ?

Děkuji

vanok · 09. 04. 2014 17:44 — Editoval vanok (09. 04. 2014 19:05)

Treba riesit nelinearny system z neznamymy x,y, lambda.
Prve de rovnice tie co si nasla.
Tretia je ta dana podmienka.

Tvoj determinant z lambda, by mal pomoct na riesenie.
Skusim to analyzovat.

TerezaG

↑ vanok:

Mohl by jste prosím napsat to řešení soustavy s proměnnými x, y , lambda ?

Mnohokrát děkuji, pomalu ale jistě se v tom ztrácím :(

vanok · 09. 04. 2014 18:11

hned ti to napisem.

Ale najprv malu poznamku

akoze $g(x,y)= x^2+3xy +y^2 +4=0$
plati tiez $x^2+y^2=-3xy-4$

A preto $F(x,y)=-3xy-4$

Tak mozes riesit tento problem
$F(x,y)=-3xy-4$
za podmienky
$g(x,y)= x^2+3xy +y^2 +4=0$

vanok · 09. 04. 2014 18:20 — Editoval vanok (10. 04. 2014 03:53)

teraz ten nelinearny system:
$\frac {\delta (f (x,y)- \lambda g(x,y)}{\delta x} =0$
$\frac {\delta (f (x,y)- \lambda g(x,y)}{\delta y}=0$
$g(x,y)=0$

sa pise
( podla toho co si uz sama vyssie pisala)
$2x+\lambda (2x+3y)=0$
$2y+\lambda (3x+2y)=0$
$x^2+3xy+y^2+4=0$

a normalne to je ten co treba riesit

Co som napisal v predoslom prispevku ti to zjednodusi

Édit oprava preklepu.

TerezaG · 09. 04. 2014 18:21

↑ vanok:
Ano, tak to bych chápala, takže z podmínky jakoby vytáhnu zadanou funkci a tím pádem se vyšetřovaná funkce zjednoduší ? ... je to tak ?

Poslala jsem Vám PM, ..

Děkuji

TerezaG

↑ vanok:
Takže já jsem vlastně řešila jen 2 rovnice a měla jsem řešit 3.. ?

Teď ale zase nevím, jak toto vyřešit :
$x^2+3xy+y^2+4=0$
$2y+\lambda (3x+2y)=0$
$2x+\lambda (2x+3y)=0$

vanok · 09. 04. 2014 18:34

vo vseobecnom pripade sa to tak robi...

vanok · 09. 04. 2014 18:58 — Editoval vanok (09. 04. 2014 19:55)

pozrel som ten vypocet z tou nulovou maticou,
pre lambda2=2
si spravne dostala x=-y

Potom $g(x,x)=x^2-3x^2 +x^2 +4=0$
cize $-x^2+4=0$
co da (x,y)=(2,-2)alebo (-2,2) a nie co si napisala.
Poznamka v tejto metode je lambda povazovana za parameter, a vypocet determinantu urci parametre lambda, kedy su pre tie rovnice z x a y linearne zavisle.

TerezaG · 09. 04. 2014 19:05

↑ vanok:
Ano ano, už jsem přišla u tohoto principu řešení na to, že dělám chybu v dosazení.

Děkuji moc za rady :))

vanok · 09. 04. 2014 19:10

↑ TerezaG:,

Som rad, a dufam ze aj chapes princip metody.

A pre zaujimavost, skus aj ten zjednoduseny problem z prispevku 13.

TerezaG · 09. 04. 2014 21:30

↑ vanok:

Už mi to vychází, vyzkouším obě metody.

U tohoto tedy chápu, že musím díky Langrangeově metodě zjistit lambda, abych dostala rovnice, do kterých pak budu dosazovat, aby mi vyšly body - podezřelé z extrému..
Tím determinantem matice na začátku vlastně řeším jen tu soustavu dvou rovnic s lambdou... abych nemusela řešit rovnice tři, tak postupně pak dosazuji ... je to tak ?

No a na závěr udělám II. diferenciál, podle toho, jestli je pozitivně definitní, nebo negativně definitní, nebo indefinitní.. jistím, jaký ten extrém je..

Je to tak v pořádku ?

Děkuji

vanok · 09. 04. 2014 21:46

↑ TerezaG:,
Presnejsie, najdes vdaka determinantu hodnoty lambda, pre ktore déterminant je nula... Co tu znamena, ze hodnost jeho matice je 1, a dve najdene rovnice su tak linéaire zavisle. To da relaciu medzi x a y. Tie potom vyjadris vdaka rovnici vazby g(x,y)=0.

Zvysok to je ako u inych extremoch...

TerezaG · 09. 04. 2014 22:13

[re]p419596|vanok[/re

Chápu :)

Tak mnohokrát děkuji ! :) moc mi to pomohlo

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2014 16:15 — Editoval TerezaG (09. 04. 2014 16:24)

Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#2 09. 04. 2014 16:49

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#3 09. 04. 2014 16:52

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#4 09. 04. 2014 17:01

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#5 09. 04. 2014 17:02

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#6 09. 04. 2014 17:11 — Editoval TerezaG (09. 04. 2014 17:15)

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#7 09. 04. 2014 17:29 — Editoval Rumburak (09. 04. 2014 17:31)

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#8 09. 04. 2014 17:30 — Editoval vanok (10. 04. 2014 03:50)

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#9 09. 04. 2014 17:38

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#10 09. 04. 2014 17:39

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#11 09. 04. 2014 17:44 — Editoval vanok (09. 04. 2014 19:05)

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#12 09. 04. 2014 17:50 — Editoval TerezaG (09. 04. 2014 17:52)

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#13 09. 04. 2014 18:11

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#14 09. 04. 2014 18:20 — Editoval vanok (10. 04. 2014 03:53)

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#15 09. 04. 2014 18:21

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#16 09. 04. 2014 18:23 — Editoval TerezaG (09. 04. 2014 18:24)

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#17 09. 04. 2014 18:34

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#18 09. 04. 2014 18:58 — Editoval vanok (09. 04. 2014 19:55)

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#19 09. 04. 2014 19:05

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#20 09. 04. 2014 19:10

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#21 09. 04. 2014 21:30

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#22 09. 04. 2014 21:46

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

#23 09. 04. 2014 22:13

Re: Průběh funkce - extrémy (za určité podmínky)

Zápatí