Matematické Fórum

Fires · 10. 04. 2014 12:22

Zdravim,
zasekl jsem na postupu u vypoctu integralu.

Priklad : $\int_{}^{} \frac{6}{5x+2x^5}dx$
Pokracoval jsem substituci pres $t=x^4$
Dostal jsem se na $6\int_{}^{}\frac{1}{20t+8t^2}dt$

Dale jsem chtel postupovat pres : $6(\frac{1}{20}\int_{}^{}\frac{1}{t}dt+\frac{1}{8}\int t^{-2}dt)$

Na prvni integral puzit pravidlo 1/x a na druhy x^a bohuzel ale dostavam uplne jiny vysledek nez by mel byt tzn: $http://um.mendelu.cz/mathtex/mathtex.php?I=%206\,\left({{1}\over{20}}\,\ln%20%20\left(\left|%20t\right|%20\right)-{{1%20%20}\over{20}}\,\ln%20%20\left(\left|%202\,t+5\right|%20\right)\right)$

Muzete mi nekdo poradit hlavne stim druhym integralem a presne popsat postup.

Diky.

vanok · 10. 04. 2014 12:44

Ahoj. ↑ Fires:,
Zacni rozkladom na parc.zlomky a prises k dobremu vysledku.

Fires · 10. 04. 2014 12:45 — Editoval Fires (10. 04. 2014 12:47)

Diky
Mohl by jsi mi osvetlit prosim co je na mem postupu spatne ze se dostavam k spatnemu vysledku ?

vanok · 10. 04. 2014 12:49

↑ Fires:,
Tvojmu postupnost, zial nerozumiem, tak nemozem ani v tom smere radit.
Ja som ti len poradil co sa bezne robi. Ale to je len rada, a nie si povinny ju pouzit.

Brano · 10. 04. 2014 12:50 — Editoval Brano (10. 04. 2014 12:50)

tato uprava
$...=6(\frac{1}{20}\int_{}^{}\frac{1}{t}dt+\frac{1}{8}\int t^{-2}dt)$
je nespravna - skus si to dat na spolocneho menovatela

treba rozkklad na parcialne zlomky
$\frac{6}{20t+8t^2}=\frac{3/2}{t(5+2t)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{5+2t}$

Eratosthenes

↑ Fires:

Ahoj,

není mi jasné, jak ses dostal z

$\int_{}^{} \frac{6}{5x+2x^5}dx$

přes

$t=x^4$

na

$6\int_{}^{}\frac{1}{20t+8t^2}dt$ :

$t=x^4$

$dt=4x^3dx\Rightarrow dx={dt \over 4x^3}={dt \over 4t^{3 \over 4}}$ ...

PS.: Asi nejlíp radí ↑ Brano:, ale pozor - je tam x^5, takže ten rozklad bude asi složitější...

Cheop · 10. 04. 2014 12:58 — Editoval Cheop (10. 04. 2014 13:45)

↑ Eratosthenes:
$\int_{}^{} \frac{6}{5x+2x^5}dx$
$t=x^4$ a dostaneme:
$6\int\frac{dt}{20x^4+8x^8}=6\int\frac{dt}{20t+8t^2}=\frac 32\int\frac{dt}{t(2t+5)}$ - rozklad na parciální zlomky

Fires · 10. 04. 2014 13:00

Ten rozklad mi prijde dost silenej kdyz sem to na test hodil do MAWU vyslo neco takove :D $http://um.mendelu.cz/mathtex/mathtex.php?I=\int%20%20-{{3\,2^{{{5}\over{4}}}\,5^{{{1}\over{4}}}\,x+3\,2^{{{3}\over{2}}}%20%20\,\sqrt{5}-3\,\sqrt{2}\,\sqrt{5}}\over{2^{{{3}\over{4}}}\,5^{{{5%20%20}\over{4}}}\,\left(\sqrt{2}\,x^2+2^{{{3}\over{4}}}\,5^{{{1}\over{4}}%20%20}\,x+\sqrt{5}\right)}}-{{3\,2^{{{5}\over{4}}}\,5^{{{1}\over{4}}}\,x-%20%203\,2^{{{3}\over{2}}}\,\sqrt{5}+3\,\sqrt{2}\,\sqrt{5}}\over{2^{{{3%20%20}\over{4}}}\,5^{{{5}\over{4}}}\,\left(\sqrt{2}\,x^2-2^{{{3}\over{4}}%20%20}\,5^{{{1}\over{4}}}\,x+\sqrt{5}\right)}}+{{{{6}\over{5}}}\over{x}}\,\mathrm{d}x$

Brano · 10. 04. 2014 13:02

↑ Eratosthenes:
aj mne to chvilu trvalo, ale je to vcelku prefikane :-)

skusim napisat aj ako prist na to, ze taka substitucia je vhodna. Dajme tomu, ze mame pocit, ze nejaka substitucia tvaru $t=x^n$ by to mohla zlepsit - teda upravme

$\frac{6dx}{5x+2x^5}=\frac{6x^{n-1}dx}{5x^n+2x^{n+4}}=$
teda aby to bolo pekne, tak chceme aby $n|n$ co plati a aby $n|n+4$ co mozme dosiahnut pre $n=1,2,4$ a pre $n=4$ budeme mat najmensie exponenty cize
$=\frac{6x^{3}dx}{5x^4+2x^{8}}=\frac{3/2 dt}{5t+2t^2}$