Matematické Fórum

kar · 06. 02. 2009 20:30

Zdravim, nejak se nemuzu dopocitat.
$\lim_{x \to 0^+}{(e^x-1)}^{\frac{\mathrm{tg}^2x}{\sqrt[3]{x^2}}}$

Zkousel jsem to prez
$\lim_{x \to 0^+}{(e^x-1)}^{\frac{\mathrm{tg}^2x}{\sqrt[3]{x^2}}}=e^B$ kde $B=\lim_{x \to 0^+}{\frac{\mathrm{tg}^2x}{\sqrt[3]{x^2}}\ln{(e^x-1)}$
ale nedari se mi sestrelit ten logaritmus, takze napasovanim na l'Hospitala jsem tomu jeste pritizil...

kaja.marik

$B=\lim_{x \to 0^+}{\frac{\mathrm{tg}^2x}{\sqrt[3]{x^2}}\ln{(e^x-1)}=\lim_{x \to 0^+}{\frac{\mathrm{tg}^2x}{x^2}\cdot \lim_{x \to 0^+}{\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2}}\ln{(e^x-1)}=1\cdot \lim_{x \to 0^+}{\frac{\ln{(e^x-1)}}{{x^{-4/3}}$

kar · 06. 02. 2009 22:25

K tomu jsem se taky dostal, ale ten zbytek mi nechtel docvaknout.
$B=\lim_{x \to 0^+}{\ln{(e^x-1)}x^{\frac43}} =\lim_{x \to 0^+}{(e^x-1)\ln{(e^x-1)} \cdot \lim_{x \to 0^+}{\frac{x^{\frac43}}{e^x-1}} = 0 \cdot \lim_{x \to 0^+}{\frac{\frac43 x^{\frac13}}{e^x}}=0$

kaja.marik · 06. 02. 2009 22:48

O.K. Anebo
$\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(e^x-1)}{x^{-4/3}}= \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{e^x}{e^x-1}}{-\frac 43 x^{-7/3}}= -\frac 43 \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{e^x-1}\lim_{x\to 0^+}e^x \lim_{x\to 0^+}x^{\frac 43}=-\frac 43 \cdot 1\cdot 1\cdot 0=0$
Proste vytahuji z limity jenom ty souciny, ktere nejsou nula ani nekonecno. Vy jste vytahl z limity soucinitel, ktery jde k nule. nastesti to co zustalo slo taky k nule., Kdyby to ale slo k nekonecnu, mame neurcity vyraz a je potreba pocitat znovu. Tak to jenom takovy komentar k obecne taktice :)

kar · 06. 02. 2009 23:22

Dekuji :)
Muj problem spocival v tom, ze jsem se $0 \cdot \infty$ snazil resit l'Hospitalem jako $\frac{0}{\frac1{\infty}}$ cimz jsem si jen pritizil a nedoslo mi, ze muzu pouzit $\frac{\infty}{\frac10}$

fmfiain · 07. 02. 2009 00:32

Matematické Fórum

#1 06. 02. 2009 20:30

Limita fce

#2 06. 02. 2009 20:55 — Editoval kaja.marik (06. 02. 2009 21:00)

Re: Limita fce

#3 06. 02. 2009 22:25

Re: Limita fce

#4 06. 02. 2009 22:48

Re: Limita fce

#5 06. 02. 2009 23:22

Re: Limita fce

#6 07. 02. 2009 00:32

Re: Limita fce

Zápatí