Matematické Fórum

těžký, takhle z hlavy

Ahoj, celý den se mořím s příkladem: Převeďte následující kvadratickou formu na součet čtverců a rozhodněte o její definitnosti. $\kappa(x)=x^2_1+3x^2_2+4x_1x_2- 2x_1x_3-6x_2x_3$

definitnost mi vyšla, že je indefinitní z inercie (1,1,1), ale ten převod na kvadratickou formu mi ne a ne vyjít. Hledal jsem bázi $g_1,g_2,g_3$ ve které je kvadratická forma \kappa ve tvaru lineární kombinace čtverců souřadnic a vyšlo mi g1[1,0,0], g2[2,-1,0] a u g3 mi vyšla rovnice která nemá řešení. Nevíte někdo co s tím? Jsem zoufalý a nevím si rady.

Snažil jsem se to dělat podle návodu z knihy Lineární algebra od Libuše Teskový.
Uvítal bych klidně i jinej postup s nějakým vysvětlením.

Pavel Brožek

Moc jsem nezkoumal tvé řešení, ale není tento postup to co se chce v zadání? (Není to teda součet čtverců, tak si tím nejsem jistý, co se vlastně chce)

$\kappa(x)=x^2_1+3x^2_2+4x_1x_2- 2x_1x_3-6x_2x_3=\nl =[x^2_1+4x_1x_2- 2x_1x_3]+3x^2_2-6x_2x_3=\nl =[(x_1+2x_2-x_3)^2-4x_2^2-x_3^2+4x_2x_3]+3x_2^2-6x_2x_3=\nl =(x_1+2x_2-x_3)^2-[x_2^2+2x_2x_3]-x_3^2=\nl =(x_1+2x_2-x_3)^2-[(x_2+x_3)^2-x_3^2]-x_3^2=\nl =(x_1+2x_2-x_3)^2-(x_2+x_3)^2$

Z toho je vidět, že je kvadratická forma indefinitní.

těžký, takhle z hlavy · 04. 02. 2009 16:33

↑ BrozekP:
nějak nechápu úpravu z 2 na 3 řádek, nemohl bys mi to popsat? díky

Pavel Brožek · 04. 02. 2009 16:34

Jde o to, zbavit se všech členů, které obsahují x_1 tím, že je dostaneme roznásobením té závorky. Podle toho tvoříme obsah té závorky.

Platí

$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$

Takže jako když třeba když upravujeme kvadratický trojčlen

$x^2+3x+2=x^2+2\cdot\frac32x+$\frac32$^2-$\frac32$^2+2=$x+\frac32$^2-\frac14$ ,

tak zde postupujeme stejně, jen tam máme víc členů.

těžký, takhle z hlavy

↑ BrozekP:
Děkuji to už chápu a ještě bys mi pomoh kdybys mi vysvětlil jak z tohoto dostaneš tu indefinitnost. Já to dělal přes rovnici a inercii, tohle by mi u testu ušetřilo dost času. Díky

Pavel Brožek

Stačí najít taková $x_1, x_2, x_3$ , aby to vyšlo kladně a jiná, aby to vyšlo záporně.

Pro kladný výsledek je vhodné "vynulovat" druhý čtverec, volíme třeba $x_2=x_3=0$ . $x_1$ pak volíme tak, aby první závorka vyšla kladně, zde tedy nenulové.

Pro záporný výsledek je vhodné "vynulovat" první čtverec, volíme $x_2, x_3$ tak, aby druhá závorka byla nenulová (např. $x_2=1,\,x_3=1$ ) a $x_1$ tak, aby první závorka vyšla nula (ke těmto zvoleným hodnotám $x_2,\,x_3$ musí být $x_1=-1$ ).

Edit: Ono je jasné, že tenhle postup můžeš provést vždycky, když před jednou závorkou bude kladné a před jinou záporné číslo.

Martin Korálek

Měl jsem takový příklad:

$4x_1^2+x_2^2+4x_3^2-4x_1x_2+8x_1x_3-5x_2x_3$

Došel jsem k rozkladu

$(x_1-\frac{1}{2}x_2+x_3)^2-\frac{1}{4}x_2x_3$

Můžete poradit jak dál?

Pavel Brožek · 07. 02. 2009 00:09

↑ Martin Korálek:

Tady už je jasné, že je forma indefinitní. Ale můžeš to ještě upravit

$-\frac14x_2x_3=\frac1{16}(x_2-x_3)^2-\frac1{16}(x_2+x_3)^2$

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2009 22:30 — Editoval těžký, takhle z hlavy (03. 02. 2009 22:38)

kvadratická forma

#2 04. 02. 2009 12:38 — Editoval BrozekP (04. 02. 2009 12:39)

Re: kvadratická forma

#3 04. 02. 2009 16:33

Re: kvadratická forma

#4 04. 02. 2009 16:34

Re: kvadratická forma

#5 04. 02. 2009 18:01 — Editoval těžký, takhle z hlavy (04. 02. 2009 19:15)

Re: kvadratická forma

#6 04. 02. 2009 19:21 — Editoval BrozekP (04. 02. 2009 19:22)

Re: kvadratická forma

#7 06. 02. 2009 23:29 — Editoval Martin Korálek (06. 02. 2009 23:29)

Re: kvadratická forma

#8 07. 02. 2009 00:09

Re: kvadratická forma

Zápatí