Matematické Fórum

blb · 07. 02. 2009 00:59

Dobrý večer přeju. Rád bych se zeptal, jestli jsem následující příklad vyřešil správně.
Existuje potenciál vektorového pole
$f(x,y) = (\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})$
? Uvažuju y > 0.

Podle mě ne, protože se parciální derivace složek toho vektorovýho pole lišej. Derivoval jsem první složku podle y a druhou podle x, vyšlo mi tohle.

$- \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right) ^{-1}+2\,{\frac {{y}^{2}}{ \left( {x} ^{2}+{y}^{2} \right) ^{2}}}$

$\left( {x}^{2}+{y}^{2} \right) ^{-1}-2\,{\frac {{x}^{2}}{ \left( {x}^ {2}+{y}^{2} \right) ^{2}}}$

Je to zdůvodnění aspoň rámcově správný?

blb · 07. 02. 2009 01:21

Pardon, to byla součást zadání, asi jsem to špatně vyjádřil. Má to znamenat, že definiční obor je R2 kromě dvojic, kde y<=0. Ale myslím, že i tam to pole není potenciální, to omezení nepomáhá. Dík za rychlou odpověď :)

Pavel Brožek

↑ blb:

Asi jsem to napsal blbě, radši jsem to smazal. Zkusím se ještě zamyslet, ale neslibuji, že odpovím brzy.

Pavel Brožek

↑ blb:

Myslím, že pole má potenciál $U=-\arctan$\frac xy$$ (je to právě díky tomu y>0, problém totiž nastává v bodě (0,0)). Nejsem v tuhle dobu ale moc schopný o tom přemýšlet, raději počkej, jestli se neozve ještě někdo jiný nebo až se nad tím ráno pořádně zamyslím.

blb · 07. 02. 2009 01:57

Vzal jsem si na pomoc řešítko, a to mi vyplivlo taky tenhle potenciál. Takže jsem někde udělal botu(nicméně to řešítko asi taky, protože vypočítalo ten potenciál i bez omezující podmínky). Budu na to koukat a třeba na něco přijdu.

Pavel Brožek

Ty parciální derivace se rovnají, můžeš si to ověřit. Mě zmátlo to, že jsem na papíře špatně derivoval a pak mi ty derivace vyšly s opačnými znaménky.

Pole tedy má ten potenciál, co jsem uvedl, je to vlastně úhel $\varphi$ vzatý záporně, jestli se nepletu. Dalo by se to rozšířit např. pro všechny body roviny výjma okolí počátku a záporné poloosy y.

blb · 07. 02. 2009 02:17

Teď na to koukám a je to pravda, pěkně se to odečte. No pánbůh potěš, když ani neupravím výraz. Děkuju.

Pavel Brožek

↑ blb:

Oprava: ten potenciál jak jsem ho napsal je roven úhlu měřenému od kladné poloosy y po směru hodinových ručiček. K potenciálu ale můžeme přičíst libovolnou konstantu, takže pokud bude $\varphi$ úhel měřený normálně (od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček), tak potenciál můžeme zapsat jako $-\varphi+C$ .

To rozšíření jsem nenapsal úplně správně, jde rozšířit na všechny body roviny výjma např. bodů záporné poloosy y a nuly (to okolí nemusíme vyjímat). Jde o to, abychom při integraci pole po uzavřené křivce nemohli mít počátek uvnitř křivky.

kaja.marik

Jestli se ma jenom zjistit, jestli existuje potencial, doporucuji spocitat rotaci tohoto pole a zjisit, jestli je rovna nule nebo ne. Anebo podle Greenovy věty ověřit, jestli křivkovy integral zavisi nebo nezavisi na integracni ceste.

Matematické Fórum

#1 07. 02. 2009 00:59

Potenciály vektorových polí

#2 07. 02. 2009 01:21

Re: Potenciály vektorových polí

#3 07. 02. 2009 01:21 — Editoval BrozekP (07. 02. 2009 01:23)

Re: Potenciály vektorových polí

#4 07. 02. 2009 01:38 — Editoval BrozekP (07. 02. 2009 01:39)

Re: Potenciály vektorových polí

#5 07. 02. 2009 01:57

Re: Potenciály vektorových polí

#6 07. 02. 2009 02:06 — Editoval BrozekP (07. 02. 2009 02:10)

Re: Potenciály vektorových polí

#7 07. 02. 2009 02:17

Re: Potenciály vektorových polí

#8 07. 02. 2009 10:57 — Editoval BrozekP (07. 02. 2009 10:58)

Re: Potenciály vektorových polí

#9 07. 02. 2009 11:01 — Editoval kaja.marik (07. 02. 2009 11:02)

Re: Potenciály vektorových polí

Zápatí