Matematické Fórum

aww · 13. 04. 2014 12:27 — Editoval aww (13. 04. 2014 12:28)

Zdravím, opět sem píšu spíše teoretickou otázku.
Mám limitu funkce více proměnných a znám postupy jak se lze pokusit o řešení. Tedy pokusit se jít po přímce, po parabole a zkusit převést do polárních souřadnic. Zajímalo by mě, kdy můžu říct, že limita neexistuje. Stačí spočíst tyto způsoby a když se mi nepovede ani jedním spočíst limitu tak neexistuje?

Jozef3 · 13. 04. 2014 12:39

↑ aww:
Ne, to zdaleka nestačí. Neexistenci limity musíte dokázat a myslet si, že něco platí, není důkaz.

aww · 13. 04. 2014 12:41

Možná jsem měl říct, když mi obě limity pro blížení se po přímce a po parabole výjdou jinak, mohu 100% říct, že neexistuje?

aww · 13. 04. 2014 12:54

Pokud mám příklad:

$\lim_{(x,y)\to-(1,1)} \frac{4x-y+5}{(1+2x+y)^{2}}$

$y=kx$

$\lim_{x\to-1} \frac{4x-(kx)+5}{(1+2x+kx)^{2}}$

$= \frac{-4+k+5}{(1-2-k)^{2}}$

$= \frac{1+k}{(1-2k+k)}$

Jelikož výsledek závisí na k stačí mi to k tomu abych řekl, že limita neexistuje?

Brzls · 13. 04. 2014 13:24

↑ aww:
Ten postup je špatně, nedává smysl. Tím že si vyjádříš y=kx, rozhodně nezaručíš, že pro x jdoucí k mínus 1 půjde i y k mínus jedna.

Daná metoda se používá, když obě proměnné jdou k nule. Pak vyjádřením y=kx máš jistotu, že pro x jdoucí k nule jde i y k nule.

Aby si tento postup mohl aplikovat, je potřeba například substitucí převést limitu na takovou aby se x i y mělo blížit k nule.

aww · 13. 04. 2014 13:34

↑ Brzls:

Aha tak takhle to je. Můžu se ještě optat, jak se postupuje když do zadání dosadim nejdříve x vypočítám limitu a pak tam dosadím y? Když výjdou stejně tak limita existuje?

Brzls · 13. 04. 2014 20:34 — Editoval Brzls (13. 04. 2014 20:37)

↑ aww:

Myslíš tím dvojnásobné limity??
Jakože mám funkci f(x,y) a výrazy

$\lim_{x\to x_{0}}(\lim_{y\to y_{0}}f(x,y))$
a
$\lim_{y\to y_{0}}(\lim_{x\to x_{0}}f(x,y))$

Tady pokud obě existují a jsou si rovné, ještě neznamené, že existuje dvojná limita!!! (tedy tato limita):
$\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)$

Nic méně pokud obě existují a jsou různé, tak daná dvojná limita neexistuje

Chápu že pokud nestuduješ přímo nějakou obecnou matematiku, tak je to namáhavé, ale já osobně doporučuji si vždy u vět pořádně prostudovat důkaz, a poté sám umět danou větu dokázat. Protože pak se ti nemůže stát, že nevíš kdy danou metodu můžeš použít a kdy to nejde a podobně. NAvíc z matematiky se potom stává víc než jen obyčejné "počítání" .

aww · 13. 04. 2014 20:53

Rozumím, mě se to poslední dobou nakupilo a zítra píšu zápočtovku, takže jsem moc na důkazy nedal a snažil se učit postupy. Né že bych na to kašlal, učím se poslední tři týdny v kuse, ale to je o něčem jiném.

Můžu tě ještě poprosit o pomoc s touto limitou?

$\lim_{(x,y)\to(2,3)} \frac{2x-y-1}{x+y-5}$

určil jsem přímku kterou to prochází

$y=3+k(x-2)$

dosadil a vytknul co se dalo

$\lim_{(x,y)\to(2,3)} \frac{2(x-2)-k(x-2)}{x-2+k(x-2)}$

tady jsem se zasekl a nevěděl jak to pokrátit, a spočetl si dvojné limity (pokud mi to teda k něčemu je)

$\lim_{y\to3}(\lim_{x\to2}\frac{3-y}{-3+y})=-1$
$\lim_{x\to2}(\lim_{y\to3}\frac{2x-4}{x-2})=2$

jsou rozdílné, stačí to k tomu aby limita neexistovala?

Jj · 13. 04. 2014 21:24

↑ aww:

Dobrý večer.
Řekl bych, že ano - limity v závěru příspěvku jsou různé, čili limita neexistuje. (Opak nemusí platit - z rovnosti těchto limit se nedá usoudit, že limita existuje).

aww · 13. 04. 2014 21:26

↑ Jj:

V tom případě mě napadá jediná logická zkratka, není lepší nejprve spočítat dvojné limity a pak se pokusit příklad řešit?

Brzls · 13. 04. 2014 21:48

↑ aww:

Je to dost o intuici, můj názor je, že pokud máš podezření že ta limita neexistuje tak je lepší napřed zkusit dvojnásobné limity.
A zrovna v tomto případě to asi je nejrychlejší postup

aww · 13. 04. 2014 21:52

Dobrá tedy :) Děkuju vám oboum

Matematické Fórum

#1 13. 04. 2014 12:27 — Editoval aww (13. 04. 2014 12:28)

Limita funkce více proměnných

#2 13. 04. 2014 12:39

Re: Limita funkce více proměnných

#3 13. 04. 2014 12:41

Re: Limita funkce více proměnných

#4 13. 04. 2014 12:54

Re: Limita funkce více proměnných

#5 13. 04. 2014 13:24

Re: Limita funkce více proměnných

#6 13. 04. 2014 13:34

Re: Limita funkce více proměnných

#7 13. 04. 2014 20:34 — Editoval Brzls (13. 04. 2014 20:37)

Re: Limita funkce více proměnných

#8 13. 04. 2014 20:53

Re: Limita funkce více proměnných

#9 13. 04. 2014 21:24

Re: Limita funkce více proměnných

#10 13. 04. 2014 21:26

Re: Limita funkce více proměnných

#11 13. 04. 2014 21:48

Re: Limita funkce více proměnných

#12 13. 04. 2014 21:52

Re: Limita funkce více proměnných

Zápatí