Matematické Fórum

Zvlastni dotaz, asi proto na to nikdo neodpovida.
Nekdy je cachyovskost a konvergence to same (v uplnych prostorech) a nekdy ne.
Nezni dotaz treba takto?: Kde vidite nejzavaznejsi dusledky toho, ze cauchyovska posloupnost v neuplnych prostorech nemusi mit limitu?

EDITACE: Ja jsem ten dotaz pochopil tak, ze se jedna v obou pripadech o posloupnosti a ze tazatel posloupnost chape jako "serazena" cisla :) tj jako jakousi "radu" ale v jinem smyslu, nez to pouzivaji matematici. Ale mozna jsem se spletl a pochopil ten dotaz jinak. Mozna jsu uz jenom zmateny z toho, ze ve spouste dotazu si clovek musi pulku zadani domyslet nebo doupravit.

Jinak se priklanim k nazoru nize ze jakakoliv rada s jakoukoliv posloupnosti nemusi vubec souviset a proto ani pojmy, ktere se toho tykaji spolu nemusi nijak souviset.

Ja bych odpovedel asi takto:

Metricke prostory, ve kterych konverguje kazda Cauchyovska posloupnost se nazyvaji uplne. Mam-li ale jenom metricky prostor, nejde mluvit o radach, protoze nemam zavedene zadne algebraicke operace s prvky toho prostoru (napriklad nevim, jak tyto prvky scitat). Nejsem si uplne jist, jaka je minimalni algebra, kterou bych musel vybudovat nad metrickym prostorem, aby se uz dalo mluvit o radach, ale kdybych mel napriklad vektorovy prostor, ktery je zaroven uplnym metrickym prostorem (to splnujou napriklad realna cisla), tak muzu rict, ze rada knoverguje prave tehdy kdyz je posloupnost jejich castecnych souctu Cauchyovska.

Ted abych nekecal, ale nerika se tomu Bolzano-Cauchyho podminka konvergence?

Ano konvergence číselné řady se nazýva Bolzano-Cauchyoho kriterium

jeho znení je :
Řada   je konvergentní právě když :


stejně se jmenuje kriterium konvergence posloupnosti, ktere říká :

Posloupnost {a_n} je konvergentní právě když :




Omlouvam se za Tex, ale nemam moc cas hledat korektni zapisy

Konvergence řady(podle mě) říká, že od nejakeho indexu n_0 platí, že součet členů od n_0 dál je menší než libovolně malé epsilon. To znamená, že součet se neustále zmenšuje a blíží se k nule.



Cauchyovskost poslopunosti říká, že od určitého indexu n_0 platí, že "vzdálenost" dvou libovolných prvku(za indexem n_0) je menší a menší.


Takže podle mě se toto kriterium u posloupnosti zobecnuje na členy a u řad na součty členů.

a pokud  posloupnost, ktera splnuje B-C na posloupnosti, převedu na řadu, tak nemusi platit B-C kriterium na řady. Obráceně to ale podle me platí.

Tedy

jinak ted se omlouvam i za korektnost textu, netvrdim, ze vse je pravda, je to muj tok myslenek a vzheldem k tomu ze za par dni mam zkousku budu rad za silnou kritiku mych myslenek :-D děkuji predem