Matematické Fórum

jirakst

Ahoj,

už několik dní se trápím s jedním příkladem, který se mi vypočitat. Některé dílčí postupy, které se mi podařilo různě vyzjistit většinou nechápu zcela a tak velmi uvítám i případný komentář. Díky.

Příklad je následující:
Vypočtete pomocí reziduí integrál $\int_{\Gamma }^{}\frac{2z+j}{z^{3}(z^{2}+1)}dz$ , kde Γ:|z−1−j|=2 je kladně orientovaná kružníce.

jelena · 12. 04. 2014 21:09 — Editoval jelena (12. 04. 2014 21:10)

Zdravím,

zkusme pomocí vašeho materiálu projít dílčí postupy. Póly jsi určil? Kružnici zakreslil? Jak jsou póly umístěny - našel? Rezidua vypočítal? Děkuji.

Edit: duplicitní téma jsem před časem zamkla a označila za vyřešené - "odznačovat" - to mu nepomůže.

grizzlybear

nevím, jestli moje rada bude užitečná.
Záčátek úvah:
Já se dostal k nakreslení kružinice se středem v 1, j a poloměrem 2 v komplexní rovině. Dál jsem řešil, kde jmenovatel havaruje. To je v nule "třikrát". A v +- j.
Přičemž +j je v kružnici a -j tam není, tudíž tuším nemá vliv na integrál. A pak je tam myslím vzorec na výpočet reziduí a ten si nepamatuju. :)

Krok 2
na wiki jsem našel:
http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_%2 … nalysis%29
Limit formula for higher order poles
- tenhle vzorec jsem použil na 0 a tu považuju za pól 3. řádu.
jestli jsem správně poderivoval a limitil, vyšlo mi:
Res(f(z), 0)=-2*j

jelena · 12. 04. 2014 23:01

↑ grizzlybear:

Zdravím a děkuji za ochotu, ovšem jde o zadání samostatné práce (dohled - to je můj speciální koníček :-) Vzorce a postupy jsou podrobně ve studijním materiálu kolegy ↑ v odkazu:, úlohy se objevuji každý rok, tak by se něco našlo i s předchozích let. Tedy kolega může prokázat více samostatné snahy viz pravidla (a navíc se to nepohodlně vypisuje).

Správnost jsem zatím nekontrolovala, to může kolega.

grizzlybear · 13. 04. 2014 13:50

↑ jelena:
nevím, jestli jsem tu zprávu úplně pochopil, ale zkrátka mu nemám přímo ten příklad počítat (byť možná špatně). Pravidla fóra jsem zatím moc neřešil, pardón. :)

jirakst · 13. 04. 2014 15:47 — Editoval jelena (13. 04. 2014 18:13)

Ahoj,
děkuji za pomoc s reziui a znovuotevření vlákna. Přes 2 hodiny jsem studoval sbírku a příklad bych zatím zapsal nějak takto:
Jelena: úprava TeX:
$z^{3}(z^{2}+1)=z^{3}(z+j)(z-j)\Rightarrow z_{1}=0$ (3.stupeň), $z_{2}=-j$ (1.st), $z_{3}=+j$ (1.st)

původní znění Zobrazit/skrýt!

Dále jsem si nakresil kružnici $S=[1,+j], r=2$ - toho vyplynulo, že z Cauchy-Riemanovych podmínek(nepočital jsem, ale asi budou platit) je funkce holomorfní pro $z_{0}= 0, +j$ , což vyšlo grizzlybearovi (děkuji).
Pro pól prvního řádu mi pak vyšlo $res_{z=j}f(z)=lim_{z\gg j}(z-j)\frac{2z+j}{z^{3}(z^{2}+1)}=lim_{z\gg j}\frac{2z+j}{z^{3}(z+j)}=\frac{3}{2}j$ a pro ten 3. řádu $res_{z=0}f(z)=\frac{1}{2!}lim_{z\gg j}\frac{d^{2}}{dz^{2}}[\frac{2z+j}{(z^{2}+1)}]$
Tady jsem se zaseknul, protože asi neumím parciální derivace, resp. mi vyšlo, že neplatějí Cauchyho podmínky a když jsem derivoval funkci vyšlo $\frac{d}{dz}f(z)=\frac{2z(z^{2}+1)-(2z+j)2z}{(z^{2}+1)^{2}}=\frac{2z(z^{2}-1)-j2z}{(z^{2}+1)^{2}}$ , což se mi taky moc nezdá, tak nevím. Nejvíce se teď řeším, jak se vlastně derivuje to j.

jelena · 13. 04. 2014 18:24

↑ grizzlybear:

:-) pravidla jsi řešil při registraci (jsou striktně pro dotaz, ale jen doporučení pro odpověď). Tk přiměřeně (samozřejmě, nemůžeš vědět, že je to samostatná práce).

↑ jirakst:

trochu jsem přepsala úvod - nebyl čitelný. A děkuji za samostatnou snahu. Kružnice a póly mám také stejně, první res také. Pro derivace: j je konstanta, derivuje se po proměnné z. Tedy 1. derivace opravit jen hned na začátek $\frac{d}{dz}f(z)=\frac{2(z^{2}+1)-(2z+j)2z}{(z^{2}+1)^{2}}$ .

Pokud jsem nic nepřehlédla (jinak derivace můžeš překontrolovat i v WA).

jirakst

↑ jelena:
Děkuji za kontrolu.
O Wolfram jsem se pokoušel, jen jsem se k němu nemohl přes brzké odpoledne nějak doklikat (přetížený server?) :D
Nějak mi vyšlo i to druhé reziduum (3. stupně) a to $resf(z)_{z=0}=\frac{1}{(3-1)!}lim_{z\gg 0}\frac{d^{3-1}}{dz^{3-1}}[(z-0)^{3}\frac{2z+j}{z^{3}(z^{2}+1)}]=\frac{1}{2}lim_{z\gg 0}\frac{2(2z^{3}+3jz^{2}-6z-j}{(z^{2}+1)^{3})}=-j$
Je to velice podobné tomu, co vyšlo grizzlybearovi, jen tam asi vypadl ten faktoriál ze vzorce (teda pokud je toto správně).

jelena · 13. 04. 2014 19:11

↑ jirakst:

já jsem zadala do WA a shoduje se to (-j nebereme, jak se dohodlo).

jirakst · 13. 04. 2014 20:31

OK. Mockrát děkuji, že jste mi pomohli, měl jsem poslední možnost získat body na zápočet a donutilo mě to pochopit i přechozí látku :D
Můžu mít ještě jednu otázku? Projeví se nějak v tomto příkladu, kdyby křivka $\Gamma$ nebyla provotočivá nebo je to v zadání jen pro zmatení nepřítele (studenta)?

grizzlybear · 14. 04. 2014 00:10

↑ jirakst:
Podle mě to tam není kvůli zmatení. V tom tvým textu je Reziduová věta a tam se mluví o kladné orientaci křivky. A kladná je proti směru hodinových ručiček... a to reziduum jsem patrně zapomněl vydělit 2.

jelena · 14. 04. 2014 00:36

↑ jirakst:

také děkuji (a kolegovi ↑ grizzlybear:). Také bych to tak viděla, jako kolega ohledně orientace křivky (pro opačnou orientaci by se ještě použila věta z úvodů kapitoly 5.1 Integrál komplexní proměnné (nad příkladem 5.1.1)).

jirakst · 14. 04. 2014 11:11

Aha, teď už tomu rozumím podstatně více (jde o, že by se přehodily integrační meze(?)).
Můžu ještě prosím požádát o konečnou kontrolu výsledku (do wolframu se mi to nepodařilo dát)?
$\int_{\Gamma }^{}\frac{2z+j}{z^{3}(z^{2}+1)}dz=2\pi j(res_{z=j}f(z)+res_{z=0}f(z))=2\pi j(\frac{3j}{2}-j)=-\pi$
Děkuji.

jelena · 14. 04. 2014 14:04

↑ jirakst:

změna směru orientace zde by měla vliv jen na znaménko výsledku. Jinak Výsledek Tvého integrálu mi vyšel stejně.

jirakst · 14. 04. 2014 15:12

↑ jelena:
Dobře, ještě jednou děkuji. Už jsem zaslal jsem příspěvek na provoz fóra.

jelena · 14. 04. 2014 21:33

↑ jirakst:

děkuji i za příspěvek.

Matematické Fórum

#1 12. 04. 2014 16:06 — Editoval jirakst (12. 04. 2014 16:19)

Komplexní integrál pomocí reziduí

#2 12. 04. 2014 21:09 — Editoval jelena (12. 04. 2014 21:10)

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#3 12. 04. 2014 21:17 — Editoval grizzlybear (12. 04. 2014 21:32)

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#4 12. 04. 2014 23:01

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#5 13. 04. 2014 13:50

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#6 13. 04. 2014 15:47 — Editoval jelena (13. 04. 2014 18:13)

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#7 13. 04. 2014 18:24

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#8 13. 04. 2014 19:00 — Editoval jirakst (13. 04. 2014 19:06)

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#9 13. 04. 2014 19:11

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#10 13. 04. 2014 20:31

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#11 14. 04. 2014 00:10

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#12 14. 04. 2014 00:36

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#13 14. 04. 2014 11:11

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#14 14. 04. 2014 14:04

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#15 14. 04. 2014 15:12

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

#16 14. 04. 2014 21:33

Re: Komplexní integrál pomocí reziduí

Zápatí