Matematické Fórum

pavelpb · 01. 02. 2009 17:43

budu hodne rad kdyz mi s tim nekdo pomuze :) je to totiz fakt hnusnej polynom x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 8x + 12... a prosil bych to rozepsat, diky :)

adam1928 · 01. 02. 2009 19:42

Vtipálku tohle asi jen tak někdo nevyřeší :) ale takové typy snad v testech nejsou.

zkus wxMaxima nebo maple a uvidíš jaké vyjdou hrozivé kořeny

$x=-sqrt(2)*i$
$x=sqrt(2)*i$
$x=2-sqrt(2)*i$
$x=sqrt(2)*i+2$

těžký, takhle z hlavy · 01. 02. 2009 20:51

No teď jsem kouknul do testových příkladů a tenhle špek sem tam taky našel.

lukaszh · 01. 02. 2009 20:54

↑ těžký, takhle z hlavy:
Zabudol si napísať, z akej číselnej množiny je x. Ak x je reálne, tak polynóm nemožno rozložiť na súčin, ak je však komplexné, možno.

těžký, takhle z hlavy · 01. 02. 2009 21:00

v tom testu co mám já je jen rozložte polynom a ten kamikatze polynom.

Pavel Brožek

↑ lukaszh:

Polynom půjde rozložit na součin čtyř činitelů bez ohledu na to, jaké je x. Jen nebude mít reálný kořen.

A také je možné takový polynom rozložit na součin dvou kvadratických trojčlenů s reálnými koeficienty, pokud bys nechtěl vůbec použít komplexní čísla.

Martin Korálek · 07. 02. 2009 14:41

↑ BrozekP:

Můžeš prosímtě naťuknout, jak to rozložit na ten součin dvou kvadratických dvojčlenů s reálnými koeficienty?

Pavel Brožek · 07. 02. 2009 15:03

↑ Martin Korálek:

Pokud je komplexní číslo z kořenem, polynomu s reálnými koeficienty, pak platí

$\sum_{i=0}^na_nz^n=0$ .

Obě strany rovnosti komplexně sdružím

$\bar{\sum_{i=0}^na_nz^n}=0\nl \sum_{i=0}^n\bar{a_nz^n}=0\nl \sum_{i=0}^na_n\bar{z^n}=0\nl \sum_{i=0}^na_n\bar{z}^n=0\nl$

a tedy i $\bar{z}$ je kořenem polynomu. Vezmu tedy kořenové činitele pro kořen z a kořen k němu komplexně sdružený a ty vynásobím

$(x-z)(x-\bar{z})=x^2-zx-\bar{z}x+z\bar{z}=x^2-(z+\bar{z})x+|z|^2=x^2-2\Re(z)x+|z|^2$ ,

to je kvadratický trojčlen s reálnými koeficienty.

jarrro · 07. 02. 2009 15:30

$$x^2+bx+c$$x^2+dx+e$=x^4+dx^3+ex^2+bx^3+bdx^2+bex+cx^2+cdx+ce=x^4+$b+d$x^3+$e+bd+c$x^2+$be+cd$x+ce\nlb+d=-4\nle+bd+c=8\nlbe+cd=-8\nlce=12$ stačí vyriešiť tú sústavu

Pavel Brožek · 07. 02. 2009 15:40

↑ Martin Korálek:

Omlouvám se, slovo dvojčlenů v ↑ BrozekP: byl samozřejmě překlep, měl jsem na mysli trojčlenů (všiml jsem si toho až teď).

Pavel Brožek · 07. 02. 2009 15:43

↑ jarrro:

Mělo by být z nějakého důvodu jednodušší řešit tu soustavu než najít kořeny polynomu? (Tipl bych si, že při řešení soustavy nakonec stejně skončíme u hledání kořenů polynomu stupně 4.)

jarrro · 07. 02. 2009 15:57

↑ BrozekP:aha pardon teraz som ju ľzačal riešiť naozaj sa to nezdá byť až tak jednoduchá sústava ako by sa mohlo na prvý pohľad zdať no čo už chcel som pomôcť ,ale tie problémy sú ekvivalentné

musixx · 09. 02. 2009 09:46

Jednim korenem je $i\sqrt2$ . Pak - jelikoz jde o polynom s realnymi koeficienty (to je podstatne pro nasledujici!) - je korenem tez cislo komplexne sdruzene, tedy mi to da
$x^4-4x^3+8x^2-8x+12=(x^2-4x+6)(x^2+2)$ .

Martin Korálek · 09. 02. 2009 18:54

↑ musixx:

Prosímtě mohl by jsi to rozepsat, jak jsi na to přišel?
A třeba příklad x^4+x^2+1 uděláš stejně?

musixx · 10. 02. 2009 10:23

↑ Martin Korálek: Rekl bych, ze se na to neda jit nijak algoritmicky. Tady jsem samozrejme zasadnim zpusobem vyuzil druheho prispevku, ktery mi "prozradil" jeden komplexni koren realneho polynomu. Pak se da vyuzit toho znameho faktu, ktery tu prezentoval ↑ BrozekP:, coz mi da polynom $(x-i\sqrt2)(x+i\sqrt2)=x^2+2$ , ktery musi byt faktorem puvodniho polynomu. Pak staci polynomy treba vydelit, abys dostal (a vis, ze beze zbytku) polynom $x^2-4x+6$ .

Jinak uloha faktorizovat polynom vyssiho jak 4 stupne je kapitola sama pro sebe. Algoritmicky se daji odstepit nasobne koreny (dokonce tusim polynomu s komplexnimi koeficienty), pripadne s trochou prace koreny racionalni (pokud teda samy koeficienty polynomu jsou "rozumne"). Pro polynomy 4 a nizsiho stupne to jde vzdy, ale je to dost dlouha prace (Cardanovy vzorce + substituce prevadejici rovnici 4. stupne na rovnici kvadratickou a kubickou).

U druheho prikladu vol y=x^2, vyjdou ti dve reseni (komplexni) pro y, rekneme y1, y2, kazde z nich "odmocni" (v komplexnim oboru mas "dve odmocniny", nebo radeji se bavme o reseni rovnic x^2=y1 a x^2=y2), to ti da x11, x12 (z y1) a x21, x22 (z y2). Pak das dohromady x11 a x21, tedy (x-x11)(x-x21) je realny polynom. No, ve vysledku ti vyjde $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ . Hint: Mozna nejrychlejsi je uvazovat y1 a y2, stejne jako xij v goniometrickem tvaru, tak se s tim velice rychle pracuje.

Matematické Fórum

#1 01. 02. 2009 17:43

rozklad polynomu 4 stupne

#2 01. 02. 2009 19:42

Re: rozklad polynomu 4 stupne

#3 01. 02. 2009 20:51

Re: rozklad polynomu 4 stupne

#4 01. 02. 2009 20:54

Re: rozklad polynomu 4 stupne

#5 01. 02. 2009 21:00

Re: rozklad polynomu 4 stupne

#6 01. 02. 2009 21:58 — Editoval BrozekP (07. 02. 2009 15:38)

Re: rozklad polynomu 4 stupne

#7 07. 02. 2009 14:41

Re: rozklad polynomu 4 stupne

#8 07. 02. 2009 15:03

Re: rozklad polynomu 4 stupne

#9 07. 02. 2009 15:30

Re: rozklad polynomu 4 stupne

#10 07. 02. 2009 15:40

Re: rozklad polynomu 4 stupne

#11 07. 02. 2009 15:43

Re: rozklad polynomu 4 stupne

#12 07. 02. 2009 15:57

Re: rozklad polynomu 4 stupne

#13 09. 02. 2009 09:46

Re: rozklad polynomu 4 stupne

#14 09. 02. 2009 18:54

Re: rozklad polynomu 4 stupne

#15 10. 02. 2009 10:23

Re: rozklad polynomu 4 stupne

Zápatí