Matematické Fórum

TerezaG · 17. 04. 2014 01:33

Dobrý den,
potřebovala bych poradit, jak řešit příklady, kde mám hledat derivaci ve směru.... jednak ve směru tečny ke grafu funkce a pak ve směru normály ke grafu funkce.
Vím akorát, že bude potřeba najít nějaký vektor, potom gradient, snad se nepletu... a pak derivovat, dosadit nějaký bod, snad.
Toto téma už tady určitě bylo, ale potřebovala bych postup objasnit nějak "od začátku do konce".

Dávám tedy příklad, aby bylo na čem postupovat:

Najděte derivaci funkce $f(x,y)=arc\cos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$
v bodě $A=[1,1]$ ve směru normály ke grafu funkce $y=\frac{1}{x^2}$ v bodě $A$ .

Mám celkem i problém, jak si to mám vlastně představit, pokud derivace je směrnice tečny ke křivce, u více proměnných je to akorát ve více směrech, tak ale přesto nepřicházím na to, jak to vlastně vypadá.

Mnohokrát děkuji.

Rumburak

↑ TerezaG:

Ahoj.

Směr je vždy určen nějakým nenulovým vektorem $\vec {u}$ , takže derivace patříčné funkce $f$ (skalární či vektorové)
v patříčném bodě $A$ ve směru vektoru $\vec {u}$ se obvykle definuje jako

(1) $\lim_{h \to 0}\frac{f(A + h\vec{u}) - f(A)}{h}$ ,

pokud tato limita existuje.

Speciálně: u funkce dvou proměnných x, y je parciální derivace podle x totéž co derivace ve směru (1, 0) .

Pokud ten vektor $\vec {u}$ je zadán pouze implicite nějakými podmínkami, pak úloha má zpravidla dvě části:

1. určit vektor $\vec {u}$ ,
2. určit limitu (1) .

Pokud je požadováno určit např. derivaci funkce (v daném bodě) a to ve směru tečny k dané křívce v jejím daném bodě,
pak je zde určitý problém s definicí, ptotože tečných vektorů je nekonečně mnoho (liší se nenulovým násobkem).
Podívej se do vašich studijních materiálů, jak je ve vašem kursu doporučeno k tomu přistupovat.

TerezaG · 17. 04. 2014 13:25

↑ Rumburak:

Ve skriptech máme toto: //forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/33852_DSC_2741.JPG právě tomu ale moc nerozumím :)

vanok · 17. 04. 2014 13:59 — Editoval vanok (17. 04. 2014 16:45)

Ahoj ↑ TerezaG:
Ak porovnas http://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative , co ti pripomenus aj kolega ↑ Rumburak: , ktoreho tiez pozdravujem, tak mozes skutocne overit poznamku o parcialnych derivaciach a vektorov bazy v ktorom je tato vyjadrena.

Co sa tyka tvojho cvicenia ↑ TerezaG:, na jeho riesenie staci postupovat podla definicie pojmu derivaciu vo smere vectoru....

Tak dobre pokracovanie.

Edit: oprava chyb v texte, ktore robi mon korektor pravopisu, ktory je nastaveny na iny jazyk.

Rumburak · 17. 04. 2014 15:48

↑ TerezaG:

A tomu, co jsem napsal zde ↑ Rumburak:, rozumíš ? Pokud bychom vyšli z "mé" definice,
potom vztah vyjádřený formulí 2.8 by se dokazoval jako věta - například pomocí kalkulací s diferenciálem.
Opětuji pozdrav kolegovi ↑ vanok: .

TerezaG · 17. 04. 2014 18:46

↑ Rumburak:
Tomu, co jste napsal výše, rozumím.
Jak tedy budu postupovat při výpočtu dané derivace ve směru ?
Jak zjistím vektor ..apod. ?

Děkuji.

jelena · 19. 04. 2014 11:50

Zdravím v tématu,

v definicích, co vidím u techniků (ČVUT, VUT, teď si nevzpomenu TUL, ale se podívám, pokud nezapomenu :-)) se používá vektor jednotkové délky, to je pro doplnění k

kolega Rumburak napsal(a):
pak je zde určitý problém s definicí, protože tečných vektorů je nekonečně mnoho (liší se nenulovým násobkem).

Konkrétně v tomto zadání ve směru normály k zadané křivky. Směrový vektor normály musí být ve formě jednotkového vektoru.

↑ TerezaG:

budeš postupovat tak, že:
a) najdeš parciální derivace zadané funkce $f(x,y)=arc\cos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ , najdeš jejich hodnoty pro zadaný bod $A=[1,1]$ , to je část, která ve Tvém vzorci zabezpečí "první složky" součinů. Druhou složku součinu tvoří složky jednotkového vektoru v zadaném směru,

b) najdeš vektor, v jehož směru budeš hledat derivaci: to je samostatná úloha "sestavit směrový vektor přímky, která je normálou funkce $y=\frac{1}{x^2}$ v bodě $A=[1,1]$ a převést ho na zápis jednotkového vektoru stejného směru". Normálu ke grafu funkce f(x) v zadaném bodě najít umíš? Děkuji.

Prakticky si představit: tady podrobně a na praktických příkladech, případně ještě se pokusím doplnit (nebo kolegové). Tak se podaří dokončit, nebo již i hotovo (vzhledem k datu vzniku tématu)? Děkuji.

TerezaG · 22. 04. 2014 19:15

↑ jelena:
Moc se omlouvám za pozdní odpověď, ale řešila jsem momentálně trochu jiné věci, ale už se budu věnovat tématu.

V tom Vašem postupu jsem se ztratila u "ve Tvém vzorci zabezpečí "první složky" součinů" - to se týká tedy vzorce, který jsem vkládala současně s definicí ? :) pokud ano, tak to chápu.

U bodu b) najdeš vektor, v jehož směru budeš hledat derivaci: to je samostatná úloha "sestavit směrový vektor přímky, která je normálou funkce $y=\frac{1}{x^2}$ v bodě $A=[1,1]$ a převést ho na zápis jednotkového vektoru stejného směru". To bohužel nevím, co s tím :(
Rovnici normály najít umím, ta se hledá jako rovnice tečny, akorát se z normálového vektoru tečny udělá "směrový vektor - parametrické vyjádření".

Je to tak ?

Děkuji za další rady.

jelena · 22. 04. 2014 23:12

↑ TerezaG:

tak se budeme věnovat tématu :-) Ano, mám na mysli vzorec (2.8) z Tvého odkazu. "První složku součinu" jsem označila parciální derivaci v zadaném bodě (df/dx)(a).

bod b) vektor u by mohl být zadán rovnou jako $(u_1;u_2)$ , Ty ho zatím nemáš, jen máš zadanou cestu, jak vektor u vytvořit. Tedy vyřeš samostatnou podúlohu "najít rovnici normály ke funkci $y=\frac{1}{x^2}$ v bodě $A=[1,1]$ . Z rovnice vyčíst směrový vektor normály a přepsat ho na jednotkový vektor".

Rovnici normály najít umím, ta se hledá jako rovnice tečny, akorát se z normálového vektoru tečny udělá "směrový vektor - parametrické vyjádření".

pokud budeš mít rovnici tečny v obecném tvaru, potom normálový vektor tečny je zároveň směrovým vektorem hledané normály. Stačí ho převést na vektor jednotkové délky. Toto je opakování SŠ.

Jednoduše - máš před sebou rozsáhlejší úkol, rozděl si ho na podúlohy, pokud narazíš na nejasný pojem, tak si ho vyhledej. Tak se ještě ozvi, zda splněno.

Matematické Fórum

#1 17. 04. 2014 01:33

Derivace ve směru

#2 17. 04. 2014 10:20 — Editoval Rumburak (17. 04. 2014 10:33)

Re: Derivace ve směru

#3 17. 04. 2014 13:25

Re: Derivace ve směru

#4 17. 04. 2014 13:59 — Editoval vanok (17. 04. 2014 16:45)

Re: Derivace ve směru

#5 17. 04. 2014 15:48

Re: Derivace ve směru

#6 17. 04. 2014 18:46

Re: Derivace ve směru

#7 19. 04. 2014 11:50

Re: Derivace ve směru

kolega Rumburak napsal(a):

#8 22. 04. 2014 19:15

Re: Derivace ve směru

#9 22. 04. 2014 23:12

Re: Derivace ve směru

Zápatí