Matematické Fórum

MatematickyZlocinec

Zdravim,

Potreboval bych si overit svoje zavery ohledne prubehu funkce. Nektere vysledky jsou pro mne netypicke vzhledem k tomu s jakymi prikaldy jsem se do ted setkaval a nedocetl jsem se jestli mohou nastat.

$f(x)= arccos x + \sqrt{1-x^2}$

$1. D(f) = \langle-1,1\rangle$

$2.$ Funkce neni suda, licha ani periodicka

$3. f'(x) = \frac{-1-x}{\sqrt{1-x^2}} D(f') = (-1,1)$

$4.$ Asi prvni problem MONOTONIE a EXTREMY. Pro rozdeleni D(f') na intervaly zkusim najit nulove body $\frac{-1-x}{\sqrt{1-x^2}} = 0$ $-1-x=0$ $x=-1$ . Nedal bych ruku do ohne za to ze sem to spocital dobre. Na kazdy pad -1 neni v D(f) takze vysledek je $\emptyset$ (pokud se tady nemam divat na definicni obor puvodni fce, ale snad ne) . Ma-li funkce ostry lokalni extrem pak plati ze derivace fce je rovna nule nebo neexistuje. Naspsal jsem si ze fce je klesajici na intervalu $(-1,1)$ a nema lokalni extrem (a cim vic se divam na ten vypocet tim jsem z toho blbejsi).

$5. f'' = \frac{1}{(x-1)\sqrt{1-x^2}} D(f'')=(-1,1)$ , konvexnost a konkavnost : po dosazeni z D(f) funkce nabyva zapornych hodnot je tedy konkavni.

$6.$ Co se asymptot tyka fce by mela byt spojita na celem svem definicnim oboru a krajni body definicniho oboru nejsou vlastni tedy asymptoty nejsou.

Uf. Mate na to nekdo jiny nazor?

//Ty asymptoty muzou byt blbe.

Jj · 19. 04. 2014 19:52

↑ MatematickyZlocinec:

Dobrý večer. Na Vašich závěrech nic špatného nevidím.

MatematickyZlocinec · 19. 04. 2014 23:48

Dotaz:
V pripade lokalnich extremu (prvni derivace), uvazuju jestli je vysledek ve shode s D(f) one derivace [doufam ze ano] nebo s puvodnim D(f) derivovane funkce. V mem pripade stacionarni bod (snad sem si nesplet co to je) neni v D(f') tedy fce nema lokalni minima ani maxima.

ALE

Pokud budu pocitat i globalni maxima, ktere jsem predtim zapomel, pracuji s puvodni fci a jejim D(f) a tedy mam jak lokalni minimum [1,0] tak i lokalni maximum [-1,pi]. (interval je uzavreny a lokalni ex. nejsou)

Je jeste neco co jsem u prubehu opomenul? + samozrejme ty asymptoty, ale snad opravdu nejsou.

Jinak dekuji Jj :)

jelena · 20. 04. 2014 13:31

↑ MatematickyZlocinec:

Zdravím,

stacionární bod můžeme uvažovat také v bodě, co patří do def. oboru, ale ve kterém derivace neexistuje (což je Tvůj případ). Ovšem jelikož jsou to zároveň krajní body def. oboru, tak pravděpodobně nebude mít smysl vyšetřovat, zda přechodem přes takový bod 1. derivace mění znaménko (jelikož zde můžeme uvažovat pouze jednostrannou derivaci). Pohodlnější se mi jeví vyšetřit znaménko 1. derivace na její def. oboru, podle toho udělat závěr o tom, zda funkce na celém def. oboru roste nebo klesá a potom spočítat hodnoty f(x) pro x=1, x=-1.

Zde budeš mít situaci, že máš globální extrémy, jak jsi napsal.

K asymptotám (bez směrnice) - také můžeš vyšetřit dle definice (a prokázat, že funkce asymptoty nemá).

krajni body definicniho oboru nejsou vlastni tedy asymptoty nejsou.

Nejsem si jistá, že tomu rozumím, jak jsi to myslel? Děkuji.

MatematickyZlocinec

↑ jelena:

Zdravim,

K te asymptote bez smernice (svisla). Pokud jsem tu definici spravne precetl pokud je funkce spojita na celem svem D(f) ktery je uzavreny ( $\langle\rangle$ ) pak svisla asymptota neexistuje. Svislou asymptotu je mozne uvazovat v krajnich bodech intervalu pokud je interval otevreny.

Asymptoty bez smernice:

Na zacatek, nasel jsem na webu

Pokud je funkce definovaná na nějakém okolí nekonečna, najdeme její limitu v nekonečnu. Pokud je tato limita vlastní nebo neexistuje, pak v nekonečnu není šikmá asymptota. Pokud je nevlastní, jdeme na další krok.

Me zapisky rikaji pokud limita vyjde nevlastni ( $\infty$ ) nebo neexistuje ( $\emptyset$ ) pak sikma asymptota neni. Pokud vyjde vlastni (cislo) pokracuju v pocitani.

Limity pro vypocet sikmych asymptot dodam. Ted jen vim, ze pokud si predstavim jak ta limita vypada tak netusim jake muze mit reseni... snad to neexsituje.

krajni body definicniho oboru nejsou vlastni tedy asymptoty nejsou.

Nejsem si jistá, že tomu rozumím, jak jsi to myslel? Děkuji.

Spatne vylozeni pojmu. Vlastni bod = cislo, nevlastni bod = $\infty$ . To co jsem tim chtel rict bylo "fce je v krajnich bodech D(f) definovana, tudiz tam nemuze byt svisla asymptota a pokud by tam bylo $\infty$ ani neuvazuju nad tim hledat tam svislou asymptotu" (alespon si to myslim).

jelena · 20. 04. 2014 17:53

↑ MatematickyZlocinec:

děkuji, asymptota bez směrnice (svislá) - souhlasím, v bodech x=-1, x=1 nebude, jelikož je interval uzavřený a není co vyšetřovat (také už je jasné, jak jsi myslel vysvětlení na závěr ohledně "nejsou vlastní").

Asymptoty se směrnici (šikmé) ve tvaru y=kx+q - nebude co dodávat (reaguji na "Limity pro vypocet sikmych asymptot dodam."). Jelikož funkce je definována pouze na intervalu od -1 do 1, tedy v +/- nekonečnu není co vyšetřovat. Řekla bych, že část ohledně asymptot jsi již kompletně ošetřil - žádnou asymptotu funkce nemá.

MatematickyZlocinec · 20. 04. 2014 20:00

↑ jelena:

No mel jsem spis na mysli jestli nebudou chtit neco jako $\lim_{x\to\pm \infty } \frac{arccos x + \sqrt{1-x^2}}{x} = \lim_{x\to\pm \infty } arccos x * \lim_{x\to\pm \infty } \frac{1}{x} + \lim_{x\to\pm \infty } \sqrt{\frac{1}{x^2}+1} = Neexistuje * 0 + 1 = nesmysl$

Na kazdy pad moc dekuju za pomoc :)

jelena · 21. 04. 2014 00:48

↑ MatematickyZlocinec:

neměli by chtít. Řekla bych, že komentář ohledně def. oboru bude vhodnější zdůvodnění proč nehledáme asymptoty se směrnici. Také děkuji.

Matematické Fórum

#1 19. 04. 2014 16:35 — Editoval MatematickyZlocinec (19. 04. 2014 18:00)

Prubeh funkce

#2 19. 04. 2014 19:52

Re: Prubeh funkce

#3 19. 04. 2014 23:48

Re: Prubeh funkce

#4 20. 04. 2014 13:31

Re: Prubeh funkce

#5 20. 04. 2014 17:34 — Editoval MatematickyZlocinec (20. 04. 2014 17:34)

Re: Prubeh funkce

#6 20. 04. 2014 17:53

Re: Prubeh funkce

#7 20. 04. 2014 20:00

Re: Prubeh funkce

#8 21. 04. 2014 00:48

Re: Prubeh funkce

Zápatí