Matematické Fórum

kyselejsyrecek

Dobrý den,
mohl by mi prosím někdo vysvětlit, proč z konvrgence posloupnosti plyne její omezenost? Uvedu jako příklad posloupnost $a_{n} = \frac{1}{n-1}$ . Je mi jasné, že posloupnost není pro n = 1 definovaná, ale např. v důkazu (věta 2.7) zde http://cgi.math.muni.cz/kriz/analyza/kap2.html potom ani zvolené K není reálné. Jak můžeme usuzovat na omezenost posloupnosti/funkce, pokud není v některém bodě definovaná? Chci říct, omezenost právě znamená, že funkce neroste/neklesá do nekonečna - není v uvedeném příkladě $a_{1}= \infty$ ?
Děkuji.

jarrro · 19. 04. 2014 23:28

konečný počet členov nemá vplyv na ohraničenosť a konvergentnosť postupnosti teda si môžeš v jednotke dodefinovať ako chceš bez zmeny limity a ohraničenosti

kyselejsyrecek · 19. 04. 2014 23:40

Pardon, ale nemá právě omezenost zaručit meze, které funkční hodnota nikdy nepřesáhne? Potom si přece posloupnost, resp. funkci nemůžu v libovolném bodě dodefinovat, jak se mi zachce, aniž by se změnila omezenost...

jarrro · 19. 04. 2014 23:57 — Editoval jarrro (20. 04. 2014 00:06)

ak je postupnosť.
$a_n=f{$n$}$ ohraničená číslom K tak postupnosť
$b_n=\begin{cases}c_n \text{ ak } n\leq m \\ a_n \text{ inak}\end{cases}$
je ohraničená číslom
$\max{\{K, \left| c_1\right| ,\left| c_2\right| , \cdots , \left| c_m\right|\}}$
nikde som nepísal že sa nezmenia hodnoty infima a suprema tie sa samozrejme môžu zmeniť ale nie konečné na nekonečné a naopak

kyselejsyrecek · 20. 04. 2014 00:50

Nezlobte se, možná Vás jen velmi špatně chápu, ale pokud tedy ve vašem příkladě zvolím
$a_n=f{$n$}=1$
$b_n=\begin{cases}\frac{1}{n-1} \text{ ak } n\leq m; \\ a_n \text{ inak}\end{cases}$
pak je posloupnost a_n ohraničená (má konečné infimum = supremum = 1) a posloupnost b_n je také ohraničená a má konečné infimum a (především) supremum?

Nechápu přesně tento případ:
$a_n=f{$n$}=\frac{1}{n-1}$
f konverguje k nule, z čehož má podle původně citované věty vyplývat její omezenost (na oboru přirozených čísel). To přece ale není pravda, ne?

Ještě jednou děkuji za případnou odpověď.

jarrro · 20. 04. 2014 01:06 — Editoval jarrro (20. 04. 2014 01:20)

akože nie je pravda pre n viac ako 1 je predsa
$\left|\frac{1}{n-1}\right|<1$
n=1 môžeme buď zanedbať alebo nejako dodefinovať konečnou hodnotou veta platí samozrejme iba za predpokladu že sa bavíme o postupnostiach s konečnými členmi
napríklad môže byť prvých $10^{10^{1000}}$ členov rásť kľudne aj viac ako si dokáže ktokoľvek predstaviť ale od ďalšieho člena už to bude napríklad $\frac{1}{n}$ aj tak to bude stále ohraničená postupnosť aj keď ohraničenie bude veeeeeeeeeeeeeľmi veľké

Oxyd · 20. 04. 2014 05:16

Když si tu posloupnost dodefinuju jako $a_n = \begin{cases} 5 & \text{pokud } n = 1 \\ \frac{1}{n - 1} & \text{jinak} \end{cases}$ , tak ta posloupnost bude pořád konvergovat a bude ohraničená shora pětkou a zdola nulou. Když místo pětky použiju milion, bude ohraničená shora milionem. Když místo pětky použiju 0.2, bude ohraničená shora 1 (= a_2). Každopádně, ať si tam dosadím jakékoliv reálné (tzn. konečné) číslo, pořád bude omezená.

Nebo dokážeš najít nějaké dodefinování té posloupnosti tak, aby byla neomezená?

Formálně vzato, definice 2.1 říká, že posloupnost je zobrazení $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ . Když teda máš něco, co není definované v jedničce, tak to není -- ve smyslu definice 2.1 -- posloupnost, a ta věta se toho vůbec netýká. Máš teda dvě možnosti -- buď si tu věc dodefinuj tak, aby to byla posloupnost ve smyslu definice 2.1 nebo si uprav větu tak, aby fungovala s tvojí věcí.

Při dodefinování nezapomeň, že $\infty$ není v $\mathbb{R}$ , takže nastavením $a_1 := \infty$ by sis moc nepomohl, protože by to pořád nebyla posloupnost ve smyslu definice 2.1.

Úprava věty je snadná: Zabýváš se funkcemi $\{2, 3, \ldots\} \to \mathbb{R}$ . V důkazu si všude nahraď $\mathbb{N}$ množinou $\{2, 3, \ldots\}$ a místo "pokud platí $n_0 = 1$ " řekni "pokud platí $n_0 = 2$ ". Získáš tak větu pro posloupnosti, které nejsou definované v jedničce.