Matematické Fórum

nanny1 · 20. 04. 2014 19:02

Dobrý den,
prosím o pomoc s touto úlohou: Máme kvantový harmonický oscilátor s hamiltoniánem $\bar{H}_{osc}=h\omega (\bar{Q^{*}\bar{Q}}+\frac{1}{2})$ , máme operátory $\bar{Q}=\sqrt{\frac{m\omega }{2h}}(\bar{x}+\frac{i}{m\omega }\bar{p})$ a $\bar{Q}^{*}=\sqrt{\frac{m\omega }{2h}}(\bar{x}-\frac{i}{m\omega }\bar{p})$ . Q,Q* splňují komutační relaci, která je rovna jedné. Na základě předpisu pro hamiltonián a té komutační relace se má ukázat, že je-li $\psi _{n}$ vlnová funkce stacionárního stavu s energií En, pak vlnové funkce $\bar{Q^{*}}\psi _{n}$ a $\bar{Q}\psi _{n}$ popisují stacionární stavy s energiemi $E_{n}+h\omega$ , $E_{n}-h\omega$ , tj. platí $\bar{H}(\bar{Q}^{*}\psi _{n})=(E_{n}+h\omega ).(\bar{Q}^{*}\psi _{n})$ , $\bar{H}(\bar{Q}\psi _{n})=(E_{n}-h\omega ).(\bar{Q}\psi _{n})$ .

Vůbec netuším, jak mám využít tu konstantní komutační relaci.. Vždyť je to rozdíl součinu operátorů, který tam nikde nemám. Nemůžu o tom nikde nic najít, vím jen, co s tím, pokud je nulová. Když jsem to zkoušela řešit jinak - klasicky rozepsat, za En dát $E_{n}=\frac{1}{2}h\omega +n.h\omega$ , tak mi na levé straně vycházejí i třetí derivace (po rozepsání operátoru hybnosti), zatímco na pravé jen jedna první a vůbec to nějak nevypadá, že by se to chtělo rovnat. Bude tam asi zásadní ta komutační relace, když je na ni i v zadání upozorněno. Nevíte prosím někdo, jak by se dala v tomhle případě využít?

Brzls · 20. 04. 2014 20:07

Ahoj

Jde jen o to trošku si s tím pohrát
tak třeba ta první varianta
víme, že

$h\omega Q^{*}Q\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}-\frac{1}{2}hw\psi _{n}$

a že

$QQ^{*}=1+Q^{*}Q$

tedy
$H(Q^{*}\psi _{n})=hwQ^{*}(QQ^{*}\psi _{n})+\frac{1}{2}h\omega Q^{*}\psi _{n}$

No a tu závorku uprav pomocí těch dvou rovnic co už jsem napsal
samozřejmě využij toho, že operátor násobení konstantou je s Q a Q s hěvdičkou komutativní

Podařilo se?

nanny1 · 20. 04. 2014 21:43

Díky moc, dělala jsem chybu v tom, že jsem pořád za En cpala ten obecný předpis.. Už to mám. :)

Matematické Fórum

#1 20. 04. 2014 19:02

Jak využít komutační relaci, která je konstantní?

#2 20. 04. 2014 20:07

Re: Jak využít komutační relaci, která je konstantní?

#3 20. 04. 2014 21:43

Re: Jak využít komutační relaci, která je konstantní?

Zápatí