Matematické Fórum

pajam · 22. 04. 2014 12:05 — Editoval pajam (22. 04. 2014 13:01)

Zdravím,
potřebovala bych pomoct s příkladem: Uvažujme operátor $T\in L(C[0,1])$ , který je dán předpisem $Tf(x)=x^2*f(x)$ . Určete normu operátoru, bodové spektrum, spektrum a zda je operátor kompaktní.

Došla jsem k tomu, že norma operátoru je 1.
Při výpočtu bodového spektra z rovnice $Tf(x)=\lambda f(x)$ tedy, že $\parallel Tf-\lambda f\parallel =0$ , jsem došla k tomu, že bodové spektrum je prázdná množina. (snad je to správně)
Jenže teď nevím, jak zjistit spektrum operátoru. Jediné, co z normy vím, je, že $\sigma (T)\subset \{\lambda \in \mathbb{C},|\lambda |\le 1\}$ .

Asi by se mělo dojít ke sporu s vlastnostmi spekter kompaktních operátorů a z toho, tedy říct, že operátor není kompaktní.

Díky za radu

Bati · 22. 04. 2014 19:55 — Editoval Bati (22. 04. 2014 19:56)

Ahoj,
potřebuješ najít to spektrum, tedy hledáš $\lambda\in\mathbb{R}$ , pro které operátor $(T-\lambda)f$ není na, tj. existuje $g\in C[0,1]$ tak, že rovnici $g(x)=((T-\lambda)f)(x)=(x^2-\lambda)f(x)$ nelze pro všechna $x\in[0,1]$ splnit. Např. volbou $g=1$ lze dojít k tomu, že $\sigma(T)=[0,1]$ , z čehož rovnou plyne nekompaktnost $T$ .

pajam · 22. 04. 2014 22:53

Díky, tušila jsem, že to bude ten realný interval [0,1], ale dokázala jsem jen, že jinde existuje inverze. Děkuji za pomoc.

Matematické Fórum

#1 22. 04. 2014 12:05 — Editoval pajam (22. 04. 2014 13:01)

Spektrální teorie operátorů

#2 22. 04. 2014 19:55 — Editoval Bati (22. 04. 2014 19:56)

Re: Spektrální teorie operátorů

#3 22. 04. 2014 22:53

Re: Spektrální teorie operátorů

Zápatí