#1 22. 04. 2014 16:35
pomoc čtvercové sitě s přirozenými čísly
Ahoj všichni, mám problém s následujícím příkladem :
JSou dána čísla 1,2,3,...,25 které jsou rozmístěna do sítě 5x5. Uvažují se součty čísel v každém řádku a v každém sloupci. Mezi těmito 10-ti hodnotami jsou sudýé čísla ( sudé součty, které označíme písmenem m) a uvažují se liché čísla ( liché součty, kteréoznačíme n). Mohou být čísla 1,2,3,..,25 rozmístěna do čtvercové síte 5x5 tak aby platilo m=n?
Dle výpočtu: soucet vsech sudých cisel v radcich a ve sloupcíh který ej roven 26*25
a vyuzití toho, že sudé soucty rovno m a liche soucty rovno n a pokud by tedy platilo ze m=n pak m=13*25 coz je spor s tím, že m je soucet sudých.
Tedy pro sit 5x5 nelze
nakreslila a dopodrobna sjem si rozepsala sit 2x2 kde následující pravidlo platí a je názorně videt
avsak uz nevim u síte 3x3 , 4x4, 5x5 ( kde je vyuzit následující vzorec víše)
Dokáže mi nekdo vypočítat nějaké pravidlo čím se tento priklad řídí popřípadě obecné řešení dané ulohy ?
Díky moc
Offline
#2 23. 04. 2014 11:01
Re: pomoc čtvercové sitě s přirozenými čísly
↑ pajuska79:
Nejdříve trochu češtiny: výše se píše s ý
Obecně: pro sítě 2kx2k (sudý počet ok) to jde, pro sítě (2k-1) x (2k-1) (lichý poče tok) to nejde
Vysvětlení je jednoduché:
U sudých sítí je sudých a lichých čísel stejný počet - tedy jde udělat stejný počet sudých a lichých součtů
U lichých sítí je počet lichých čísel vždy o jednu větší než počet sudých čísel - pak rozdíl počtu lichých a sudých součtů může nejméně 2
Ještě jinak u sítí jejichž počet součtů řádků a sloupců je číslo dělitelné beze zbytku 4 to jde u ostatních ne.
Vychází to z toho, že součet lichého počtu lichých čísel je liché číslo a součet lichého a sudého čísla je také liché číslo.
Jde to vyvětlit i na příkladech
čtverec 4x4 (sudý)
Naplňme ho postupně čísly od 1-16
1 2 3 4 S
5 6 7 8 S
9 10 11 12 S
13 14 15 16 S
S S S S
pak stačí přehodit vždy dvě sousední čísla třeba v prvním řádku a je to.
2 1 4 3 S
5 6 7 8 S
9 10 11 12 S
13 14 15 16 S
L L L L
U čtverce 5x5 se ti ovšem nemůže podařit.
Takže budeš mít
1 2 3 4 5 L
6 7 8 9 10 S
11 12 13 14 15 L
16 17 18 19 20 S
21 22 23 24 25 L
L S L S L
a to je maximum co z toho můžeš dostat.
Jde to i přes magické čtverce (to jsou čtverce kxk (k>2) u nichž součty v řádcích, sloupcích i obou hlavních úhlopříčkách jsou stejné (U lichých čtverců jsou vždy tyto součty liché a uprostřed čtverce je prostřední číslo z posloupnosti 1,2,3,..,k^2)
Např. pro čtverec 3x3
8 1 6 15
3 5 7 15
4 9 2 15
15 15 15
Po přehození 8 a 1 dostaneš
1 8 6 15
3 5 7 15
4 9 2 15
8 22 15
což jsou dva sudé a 4 liché součty.
Offline
#3 23. 04. 2014 11:38
Re: pomoc čtvercové sitě s přirozenými čísly
↑ pajuska79:
Tomu se už říká přepracování :) - omlouvám se za hrubku ..
Mockrát děkuju za objasnění :).
Když už jsme vzpomělo téma magických čtvreců. Máme dán magický čtverec o n řádcích a n sloupcích, do kterého jsou vypsána libo. přirozená čísla. Pravidlo pro psaní přirozených čísel je, že každý řádek , každý soupec a obě diagonály rovny nějaké konstantě S například. Pro n liché musí být konstatnta čtverce S dělitelná n.
Dokaž že pro pevně dané n=3 a pevně danou konstantu S je prostřední prvek čtverce pevně určený.
Před řádkové a slopcové indexy vytvořením 3 rovnic (tj, součet hl. diagonál a prostřední sloupec) a uprave techto rovnic nám krásně vychází, že pro prvek x (což je práve prosteřdní člen mag. čtverce) platí x= S/3.
Pokud se však snažím o zobecnění pro n=5 nemůžu žádné parametry pěkně vyloučit nb to tam nevidím. To stejné pro n=7,9,...
Existuje zde nějaká možnost zoobecnění a platí následující i pro větší počet n ?
Děkuju moc, už si nevím rady :)
Offline
#4 23. 04. 2014 15:17 — Editoval Honzc (23. 04. 2014 15:27)
Re: pomoc čtvercové sitě s přirozenými čísly
↑ pajuska79:
Pro m.č nxn máme:
Čísla 
Součet všech čísel - aritmetická řada: 
Tedy součty v řádcích, sloupcích hl. diagonálách: (součet dělený počten řádků (nebo sloupců))
Toto platí obecně pro jakýkoliv m.č.
Liché magické čtverce mají i "středové číslo": (součet dělený počtem čísel - tedy n^2)
což je zároveň i "prostřední" číslo (medián) řady 1,2,....,n^2
Tedy pro n=3 je s.č. 1,2,3,4,5,6,7,8,9->5 (45/9=15/3)
n=5 je s.č. 1,2,3,4,...13,...,24,25->13 (325/25=65/5)
Offline
#5 23. 04. 2014 15:57
Re: pomoc čtvercové sitě s přirozenými čísly
↑ Honzc:
Děkuju moc, moc :)))
Můžu jen dotaz ty čísla 15/3 pro n= 3 a 65/5 značí součet vždy na diagonále, řádku a slouci ?
A chápu správně že to platí i pro n=7,9 ....
Ještě jednou moc díky :)
Offline
#6 24. 04. 2014 06:41
Re: pomoc čtvercové sitě s přirozenými čísly
↑ pajuska79:
15 značí součet v řádcích ..., 15/3 je potom středové číslo pro n=5 obdobně
Samozřejmě to platí i pro 7,9,..
Dokonce jak jsem psal, tak vzoreček pro součet v řádcích, sloupcích a hl.diagonálách platí pro všechny m.č. (tedy i sudé, které jenom nemají středové číslo)
Offline