Matematické Fórum

vanok · 23. 04. 2014 18:22 — Editoval vanok (23. 04. 2014 18:24)

Pozdravujem,
V tomto cviceni dokazete jednu ( zaujimavu) vlasnost 5-uholnika.

Nech strana pravidelneho 5- uholnika je $a$ , a jeho uhlopriecka $b$
Urcite $$\frac ab$^2+$\frac ba$^2$

byk7 · 23. 04. 2014 19:44

$b$ a $a$ jsou v poměru zlatého řezu, tedy
$b/a&=\big(\sqrt5+1\big)/2 \\ a/b&=\big(\sqrt5-1\big)/2$
odtud pak plyne, že hodnota hledaného výrazu je 3.

vanok · 23. 04. 2014 19:50

Ahoj ↑ byk7:,
Ano, to je pravda.
Mozes teraz napisat pre kolegov stredoskolakov podrobne riesenie. Iste ti budu za to vdacni.

Bati · 23. 04. 2014 21:03

Ahoj ↑ vanok:,

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Arabela · 23. 04. 2014 22:19

Zdravím ↑ vanok:,
a pripájam riešenie "rutinnejšie" - možno sa niekomu zo stredoškolákov zapáči. Podľa sínusovej vety platí $\frac{a}{b}=\frac{\sin 36^\circ }{\sin 108^\circ }$ . Ide o uhly, ktorých presné hodnoty sínusov možno nájsť na internete (alebo tiež odvodiť - poznámka pre pokročilejších). Platí: $\sin 36^\circ =\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}$ ,
$\sin 108^\circ =\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}$ .
Po krátkom výpočte dostávame správny výsledok.

Bati · 23. 04. 2014 22:48

↑ Arabela:
Ano,
pomocí Moivreovy věty lze např. ukázat, že číslo $\cos{\tfrac{\pi}5}$ je kořenem rovnice
$16x^5-20x^3+5x+1=0$ , která se ještě dá řešit "ručně". To spolu s kosinovou větou k dokončení příkladu stačí. Geometrické řešení mi v tomto případě přijde hezčí:)

vanok · 23. 04. 2014 23:27

Vsetkym riesitelom mozem povedat len, pekna konstruktivna a uzitocna praca.

Matematické Fórum

#1 23. 04. 2014 18:22 — Editoval vanok (23. 04. 2014 18:24)

Pravidelny 5-uholnik

#2 23. 04. 2014 19:44

Re: Pravidelny 5-uholnik

#3 23. 04. 2014 19:50

Re: Pravidelny 5-uholnik

#4 23. 04. 2014 21:03

Re: Pravidelny 5-uholnik

#5 23. 04. 2014 22:19

Re: Pravidelny 5-uholnik

#6 23. 04. 2014 22:48

Re: Pravidelny 5-uholnik

#7 23. 04. 2014 23:27

Re: Pravidelny 5-uholnik

Zápatí