Matematické Fórum

nanny1 · 21. 04. 2014 19:24 — Editoval nanny1 (21. 04. 2014 19:29)

Dobrý den,
prosím Vás, chtěla bych se zeptat na jednu věc.. Spočítala jsem fluktuace hybnosti a polohy mikroobjektu a mám na základě těchto výsledků ukázat, že platí HRN $(\Delta p)_{\varphi _{n}}.(\Delta x)_{\varphi _{n}}\ge \frac{1}{2}h$ . Pokud jsem dobře počítala, ze součinu fluktuací můžu vytknout h, které se už pak nikde nevyskytuje a zbyde mi součin dvou fakt dost dlouhých odmocnin. Pokud bych uvažovala v R, tak pod odmocninou bude nezáporné číslo - ale stejně tam může vyjít číslo mezi <0,0.5). Co s tím? Navíc - nemám uvažovat v C? Zase si říkám, že fluktuace je vlastně směrodatná odchylka.. Žádné i tam nikde nemám. I kdybych ten součin spočítala, je tam neznámá x a je tam šířka potenciálové jámy, která není pevně daná. Jak bych potom určila, že ten výraz je větší než (1/2)h? Navíc je tam v předpisu pro siny a cosiny n-násobek (pí/d)x, s čímž se jednoznačný výsledek taky určit nedá. Máte prosím nějaký nápad, co s tím? Nebo mám prostě jenom napsat předpoklad, že celá odmocnina je větší rovna (1/2) a bude to stačit?

Brzls · 22. 04. 2014 20:43

Ahoj

jelikož nikdo neodpovídá, tak aspoň řeknu co vím já.
Za prvé bude potřeba uvést celý příklad i tvé řešení, takhle není moc vidět co máš za problém.

Jinak ne pod tou odmocninou to není komplexní
Mělo by to vypadat tak, že vypočítáš ty fluktuace, vynásobíš, a a ta šířka potenciálové jámy ti vypadne, nebo prostě vůbec bude muset jít dokázat že ten výraz je větší než h/2

Ale říkám, napiš celý příklad a pak se uvidí co že je vlastně za problém.

nanny1 · 22. 04. 2014 22:27 — Editoval nanny1 (22. 04. 2014 22:47)

Ahoj,
v zadání se uvažuje mikroobjekt v potenciálové jámě šířky d v n-tém stacionárním stavu s vlnovou funkcí $\psi _{n}= i\sqrt{\frac{2}{d}}sin(n\frac{\Pi }{d}x]$ . Spočítala jsem střední hodnoty x a p a kvantové fluktuace, je taky možný, že tam mám někde chybu, je to docela dost výpočtů. :( Protože v součinu fluktuací už se mi nedaří nic vytknout.. Podařilo se mi vytknout h a vykrátit jedno d a to je všechno. Ještě zrovna zkouším udělat substituci, protože n, pí, d, x jsou nezáporná čísla a trochu se to možná zpřehlední a hlavně zkrátí, ale vidím to bledě, asi tam mám někde chybu.
Střední hodnota operátoru hybnosti mi vyšla $-i\frac{h}{d}sin^{2}(n\frac{\Pi }{d}x)$ , operátoru polohy $\frac{d}{2n\Pi }((n\frac{\Pi }{d}x)^{2}-n\frac{\Pi }{d}x.sin(2n\frac{\Pi }{d}x)-0,5.cos(2n\frac{\Pi }{d}x)$ , kvantová fluktuace hybnosti $\frac{h}{d}\sqrt{n\Pi (n\frac{\Pi }{d}x-0,5.sin(2n\frac{\Pi }{d}x)+sin^{4}(n\frac{\Pi }{d}x)}$ , kvantová fluktuace polohy $\sqrt{\frac{d^{2}}{n^{3}\Pi ^{3}}(\frac{1}{3}(n\frac{\Pi }{d}x)^{3}-0,5(n\frac{\Pi }{d}x)^{2}.sin(2n\frac{\Pi }{d}x)-(n\frac{\Pi }{d}x).cos(2n\frac{\Pi }{d}x)+0,5.sin(2n\frac{\Pi }{d}x))-(\frac{d^{2}}{4n^{2}\Pi ^{2}}((n\frac{\Pi }{d}x)^{2}-(n\frac{\Pi }{d}x).sin(2n\frac{\Pi }{d}x)-0,5.cos(2n\frac{\Pi }{d}x))^{2})}$ no a teď chci ukázat, že součin fluktuací je větší roven 1/2h...

Brzls · 23. 04. 2014 13:05 — Editoval Brzls (23. 04. 2014 18:21)

Nazdar

No chybu tam máš určitě, mě to vycházelo celkem pěkně (kdybych tam udělal někde nějakou menší chybu tak radši nebudu říkat jak, aby to nemátlo)

Podle mě máš už trošku bordel v tom, co to jsou střední hodnoty.
Například ve výrazu pro střední hodnotu pro polohu ti nemůže vycházet x!!! ve výsledku může být jedině n a d a konstanty nic jiného (jakože žádná proměnná)!!!
Takže asi bude nejlepší když napíšeš jak počítáš střední hodnotu, jak fluktuaci a pak uvidíme
(tady se možná budeme lišit v zápisu ale tak ubidíme)

Jinak střední hodnota polohy je podle mě jasnáz fyzikálního pohledu - kvůli symetrii očekáváme, že to bude d/2, což se dá ověřit
$\langle x\rangle=\langle \psi |x\psi \rangle=\int_{0}^{d}\frac{2}{d}x\cdot sin^{2}(\frac{n\pi }{d}x)dx=\frac{d}{2}$

(výpočet pomocí substituce a např per partes)

Jinak pokud já vím tak fluktuace je definováva jako
$(\Delta A)^{2}=\langle (A-\langle A\rangle)^{2}\rangle=\langle A^{2}\rangle-\langle A\rangle^{2}$
sedí??

nanny1 · 23. 04. 2014 20:20

Ahoj, díky moc za radu.. Já mám právě definici střední hodnoty operátoru jako neurčitý integrál, jako je to i v klasické pravděpodobnosti. S určitým integrálem jsem to ještě neviděla, ale je to logický, stejně tak i výsledek - to mě mělo napadnout hned, že má vyjít d/2, sakra. :( Jsem to ale blbec. Fluktuaci mám definovanou stejně, jenom ne ve druhé mocnině. Teď už je mi to jasný, stačí vypočítat určité integrály.

Brzls · 23. 04. 2014 20:35 — Editoval Brzls (23. 04. 2014 20:38)

↑ nanny1:

Ano tu druhou mocninu tu jsem tam dál naschvál, abych nemusel psát odmocniny.
Jinak definice střední hodnoty veličiny (resp jejího operátoru) (co se kvantové mechaniky týče) by měla být definována jako (v jedno rozměrném prostoru)

$\bar{A}=\langle A\rangle=\int_{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}A\psi dx$

a jelikož my máme nekonečně hlubokou potinciálovou jámu, tak mimo tuto jámu je vlnová funkce rovna nule, tudíž nám stačí integrovat v těch mezích co jsem uváděl

nanny1 · 23. 04. 2014 22:33

Můžu se prosím ještě zeptat, jak Ti vyšla ta střední hodnota hybnosti? Vychází mi nula.

Brzls · 24. 04. 2014 11:32

Přesně tak, podle mě to opět vyplývá ze symetrie té jámy

nanny1 · 24. 04. 2014 12:31

OK, díky, tak snad už to mám dobře. :)

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2014 19:24 — Editoval nanny1 (21. 04. 2014 19:29)

Kvantové fluktuace a Heisenbergův princip neurčitosti

#2 22. 04. 2014 20:43

Re: Kvantové fluktuace a Heisenbergův princip neurčitosti

#3 22. 04. 2014 22:27 — Editoval nanny1 (22. 04. 2014 22:47)

Re: Kvantové fluktuace a Heisenbergův princip neurčitosti

#4 23. 04. 2014 13:05 — Editoval Brzls (23. 04. 2014 18:21)

Re: Kvantové fluktuace a Heisenbergův princip neurčitosti

#5 23. 04. 2014 20:20

Re: Kvantové fluktuace a Heisenbergův princip neurčitosti

#6 23. 04. 2014 20:35 — Editoval Brzls (23. 04. 2014 20:38)

Re: Kvantové fluktuace a Heisenbergův princip neurčitosti

#7 23. 04. 2014 22:33

Re: Kvantové fluktuace a Heisenbergův princip neurčitosti

#8 24. 04. 2014 11:32

Re: Kvantové fluktuace a Heisenbergův princip neurčitosti

#9 24. 04. 2014 12:31

Re: Kvantové fluktuace a Heisenbergův princip neurčitosti

Zápatí