Matematické Fórum

hurryfox · 26. 04. 2014 17:29

Dobrý den,

potřeboval bych pomoci s následujícím příkladem :

Určete hodnotu parametru $a$ tak, aby rovnice $ax +4y - 25=0$ byla rovnicí tečny ke kružnici $x^{2}+y^{2}=25$ .

Podle sbírky má vyjít a1 = -3, a2 = 3, ale mně vyšlo a1 = 24, a2 =-6.

byk7 · 26. 04. 2014 17:44

tak ukaž svůj postup a najdeme chybu...

pro začátek, máš soustavu rovnic
$ax+4y-25&=0 \\ x^2+y^2&=25$
s neznámými $x,y$ a hledáš hodnotu parametru $a$ takovou, že soustava bude mít právě jedno řešení

hurryfox

Ano,

z první rovnice jsem si vyjádřil $y= 25-ax /4$ a dosadil do druhé, po úpravě mi vyšlo toto :

$x^{2}(16+a)^{2}+x(-50a)+225=0$

hurryfox · 26. 04. 2014 17:59

Potom jsem si provedl tuto úpravu - $(16-a)^{2}\Rightarrow a$ , $(-50a)\Rightarrow b$ , $225 \Rightarrow c$

Diskriminant má být nula (tečna - jedno řešení)

takže: $b^{2}-4ac=0$

Dosadím členy z rovnice:

$(-50a)^{2}-4\cdot 225(16+a)^{2}$

Tu závorku jsem upravil dle vzorce ( $(a+b)^{2}$

Pak jsem to upravil a nakonec mi vyšla kvadratická rovnice $a^{2}-18a-144=0$
a řešení a1 = 24, a2=6

byk7 · 26. 04. 2014 18:09

Hmm... moc tvému postupu nerozumím, po eliminování neznámé $y$ (kdy sis mimochodem vyjádřil $y=\color{red}(\color{black}25-ax\color{red})\color{black}/4\neq25-ax/4$ , což je podstatný rozdíl) by jsi měl dostat rovnici
$x^2$a^2+16$-50ax+225=0$ , což znamená, že budeš řešit rovnici
$(-50a)^2-4$a^2+16$\cdot225=0$ , což po úpravě je $1600(a-3)(a+3)=0$

hurryfox · 26. 04. 2014 18:23

Aha, já jsem udělal chybu tady -

Po tom, co jsem dosadil vyjádřené y do druhé rovnice dostal jsem po úpravě výraz

$16x^{2}-50ax+a^{2}x^{2}+225=0$ a tady jsem špatně vytýkal, nevím, kde jsem vzal $(16+a)^{2}$

Nyní už je mi to jasné, díky moc.

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2014 17:29

Vzájemná poloha přímky a kružnice

#2 26. 04. 2014 17:44

Re: Vzájemná poloha přímky a kružnice

#3 26. 04. 2014 17:50 — Editoval hurryfox (26. 04. 2014 17:51)

Re: Vzájemná poloha přímky a kružnice

#4 26. 04. 2014 17:59

Re: Vzájemná poloha přímky a kružnice

#5 26. 04. 2014 18:09

Re: Vzájemná poloha přímky a kružnice

#6 26. 04. 2014 18:23

Re: Vzájemná poloha přímky a kružnice

Zápatí