Matematické Fórum

Tomas_GJS

Zdravím, nemohu najít systémy v dělení a rozkladu mnohočlenů. Dávám sem pár příkladů, na kterých bych prosil uvést popsaný a zdůvodněný postup a výpočet. Budu moc vděčný za každou radu. Asi to budu potřebovat jako pro debila, protože si troufám říct, že jsem nadaný na většinu předmětů, kromě matematiky a nechci si ní kazit průměr, i když se dá říct, že v prváku skoro o nic nejde.

DĚLENÍ:

ROZKLAD:

(první závorka má být celá na druhou)

marnes · 08. 02. 2009 20:50

↑ Tomas_GJS:

marnes · 08. 02. 2009 20:53

↑ Tomas_GJS:
Ten druhej zkus sám

ruamaixanh

↑ marnes:
Můžeš mi vysvětlit svůj postup?? protože vyšlo mi u prvního příkladu (x+2)^3

gadgetka · 08. 02. 2009 21:10

první příklad:

$(x^4+8x^3+24x^2+32x+16):(x+2)=x^3$
$-(x^4+2x^3)$
----------------------
$6x^3+24x^2$

Tady je první krok dělení mnohočlenu mnohočlenem, první člen $x^4$ dělíš prvním členem $x$ , což je $x^3$ . Výsledkem, čili tím $x^3$ roznásobuješ zpět závorku $(x+2)$ a zapisuješ to do závorky pod dělenec: $(x^4+2x^3)$ . Když to máš zapsané, napíšeš před závorku mínus a to, cos roznásobil, odečteš od dělence, dostaneš $6x^3$ a připíšeš další člen z dělence, čili $24x^2$ a vše se opakuje stejným způsobem:

$(x^4+8x^3+24x^2+32x+16):(x+2)=x^3+6x^2$
$-(x^4+2x^3)$
----------------------
$6x^3+24x^2$
$-(6x^3+12x^2)$
--------------------------------
$12x^2+32x$

To znamená, že teď dělíš $6x^3+24x^2$ dělitelem $(x+2)$ , zase vezmeš jen ten první člen, čili $6x^3$ a dělíš ho $x$ , dostáváš $6x^2$ , kterým zase zpětně roznásobíš závorku $(x+2)$ . A opět to zapisuješ do závorky, kterou poté odečteš a k výsledku připíšeš další člen dělence, čili $32x$ .

Co říkáš, zvládneš zbytek sám?

marnes · 08. 02. 2009 21:13

↑ ruamaixanh:
1. Dělíme nejvyšší člen dělence nejvyšším členem dělitele, to je těch x na třetí
2. Tímto x na třetí násobím dělitele a výsledek píšu pod dělenec
3. Od dělence odečtu výsledek násobení a vyjde mi třetí řádek
4. Tento postup opakuji do té doby, než je zbytek nula, nebo zbylej mnohočlen je menšího stupně než dělitel

gadgetka · 08. 02. 2009 21:13

↑ ruamaixanh:

výsledek je $(x+2)^3$ , zkus si závorku umocnit, vyjde ti to samé.

Tomas_GJS · 08. 02. 2009 21:14

Tak druhý příklad mi vyšel

marnes · 08. 02. 2009 21:16

↑ gadgetka: Pokud se nepletu, příklad zněl vydělit, ne rozložit?

marnes · 08. 02. 2009 21:18 — Editoval marnes (08. 02. 2009 21:18)

↑ Tomas_GJS:
To je dobře, ten druhej

Tomas_GJS · 08. 02. 2009 21:19

Mockrát děkuju za to dělení. Teď už jsem ho snad pochopil. Zítra to ještě zkusím na dalších pár příkladech. Horší to bude s rozkladem. Nemám cit.

gadgetka · 08. 02. 2009 21:20

↑ marnes:
vím, jen jsem reagovala na dotaz.

gadgetka · 08. 02. 2009 21:22

↑ Tomas_GJS:
nechybí u toho prvního rozkladu něco? Máš to dobře opsané?

marnes · 08. 02. 2009 21:23

↑ Tomas_GJS:
Rozklady: 1. tam zatím nic nevidím, člověk musí zkoušet

2. Tam bych zkusil a na třetí minus b na třetí, že je (a-b)*(a na2 +a*b +b na2)

marnes · 08. 02. 2009 21:24

↑ gadgetka:
To nebylo na tebe, já reagoval na ruamaixanh:-)

Tomas_GJS

Omlouvám se u PRVNÍHO PŘÍKLADU NA ROZKLÁDÁNÍ MÁ BÝT PRVNÍ ZÁVORKA CELÁ NA DRUHOU.

marnes · 08. 02. 2009 21:35

↑ Tomas_GJS:
{a^2+b^2-c^2}^2 - 4a^2b^2={a^2+b^2-c^2+2ab}*{a^2+b^2-c^2-2ab}={{a+b}^2-c^2}*{{a-b}^2-c^2}=
={a+b+c}*{a+b-c}*{a-b-c}*{a-b+c}

gadgetka · 08. 02. 2009 21:35

marnes napsal(a):
↑ gadgetka:
To nebylo na tebe, já reagoval na ruamaixanh:-)

aha ... :))

Tomas_GJS · 08. 02. 2009 21:39

↑ marnes:

je to správně.. dneska už končím, zkusím se na to ještě podívat zítra. Strávil jsem nad tím většinu víkendu, v úterý mě čeká test na všechno kolem mnohočlenů. Nevím jak to zvládnu.

gadgetka · 08. 02. 2009 21:49

↑ Tomas_GJS:
$(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2$
nahrává to na vzoreček $(a^2-b^2)=(a-b)(a+b)$ , kde $a=a^2+b^2-c^2$ a $b=2ab$

$=(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)$ ,

v první závorce je navíc vzoreček $(a-b)^2$ a v druhé závorce $(a+b)^2$ , čili
$[(a-b)^2-c^2][(a+b)^2-c^2]$ , a zase je uvnitř vzoreček $(a^2-b^2)=(a-b)(a+b)$ , kde v první hranaté závorce je $a=(a-b)$ a $b=c$ a v druhé hranaté závorce $a=(a+b)$ a $b=c$ :

$(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)$

gadgetka · 08. 02. 2009 21:51

marnes napsal(a):
↑ Tomas_GJS:
{a^2+b^2-c^2}^2 - 4a^2b^2={a^2+b^2-c^2+2ab}*{a^2+b^2-c^2-2ab}={{a+b}^2-c^2}*{{a-b}^2-c^2}=
={a+b+c}*{a+b-c}*{a-b-c}*{a-b+c}

Marnesku, sorráč, velikej, já si v tom mumraji nevšimla, žes' už příklad vyřešil. :)

gadgetka

↑ Tomas_GJS:
druhý rozklad nahrává na vzoreček $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ , kde $a=x+y+r$ a $b=x+y-r$

$[(x+y+r)-(x+y-r)][(x+y+r)^2+(x+y+r)(x+y-r)+(x+y-r)^2]\nl=[x+y+r-x-y+r][(x^2+y^2+r^2+2xy+2rx+2ry)+(x^2+2xy+y^2-r^2)+(x^2+y^2+r^2+2xy-2ry-2rx)]\nl=2r(3x^2+3y^2+r^2+6xy)=2r[3(x+y)^2+r^2]$

Rychlejší varianta:
$(x+y+r)^3$ si představíme jako $(a+b)^3$ , kde $a=x+y$ a $b=r$ a
$(x+y-r)^3$ jako $(a-b)^3$ , kde $a=x+y$ a $b=r$ ==>

$[(x+y)^3+3(x+y)^2*r+3(x+y)*r^2+r^3]-[(x+y)^3-3(x+y)^2*r+3(x+y)*r^2-r^3]=6(x+y)^2*r+2r^3=2r[3(x+y)^2+r^2]$