Matematické Fórum

Sherlock · 27. 04. 2014 16:52

Vybereme-li z množiny $\mathbb{R}$ náhodné číslo, pravděpodobnost že tohle číslo bude iracionální je $1$ .

Je to pravda? A jak by se to dokázalo?

Jde tu o to že $\varkappa _{1}$ (alef-1) je nějakým způsobem nekonečněkrát větší než $\varkappa _{0}$ ?

Eratosthenes · 27. 04. 2014 23:33

ahoj ↑ Aktivní:,

je to přesně tak.

Sherlock · 28. 04. 2014 20:35

Mohl bys to nějak rozepsat nebo mě odkázat kde je to s tou pravděpodobností vyřešeno?

Eratosthenes · 28. 04. 2014 23:08

ahoj ↑ Aktivní:,

je třeba si především uvědomit, jak je možné v takové úloze definovat pravděpodobnostní prostor. Budou v něm jen čtyři základní jevy: jev nemožný, jev jistý, ze zadání úlohy "tažené číslo je iracionální", takže zbývá čtvrtý - "tažené číslo je racionální" (ten je možné event. ještě rozpitvat na přirozená, celá záporná a "necelá") Dále je potřeba přisoudit jednotlivým jevům pravděpodobnosti. Jev nemožný musí mít nulu, jev jistý jedničku, takže zbývají ty dva (popř. čtyři). Jakou pravděpodobnost jim přisoudit? Něco jako poměr "délek", "obsahů" nebo "objemů" jako při geometrické pravděpodobnosti? To není možné, protože všechny jsou nekonečné. No a tak zbývá už pracovat jen s těmi kardinálními čísly - pravděpodobnost iracionálního musí být "nekonečněkrát větší" než racionálního. A jak to udělat, má-li být jejich součet jedna?

Brano · 29. 04. 2014 12:52 — Editoval Brano (29. 04. 2014 13:12)

↑ Eratosthenes:
To nie je tak uplne pravda, ze sa to neda inak. Da sa nadefinovat mnozstvo roznych pravdepodobnosti na R. Trivialne napr. taka, ze isty jav je ze zvolim cislo 0 a vsetko ostatne je jav nemozny.

Pravda je, ze v istom zmysle je pre realne cisla najprirodzenejsia Lebesgueova miera a z povahy otazky sa da usudzovat, ze OP mal na mysli nejaku pravdepodobnost, ktora je absolutne spojita voci Lebesgueovej miere (t.j. ma voci nej hustotu). A pre kazdu mieru ktora je takato plati, ze pravdepodobnost spocitatelnej mnoziny musi byt 0, lebo jej Lebesgueva miera je 0.

Pointa tohoto basnenia je taka, ze pre R neexistuje nejaka kanonicka pravdepodobnost o ktorej by sme hovorili vzdy ked povieme "vyberam nahodne realne cislo" a treba si nejaku domysliet - napr $N(0,1)$ - ale moze sa stat ze niekto by si nedomyslel prave taku co ma hustotu voci Lebesgueovej miere a teda treba byt trosku opatrny vo vyjadrovani.

PS: pracovat iba s kardinalmi nejak neodporucam - nepoznam ziaden rozumny kontext ktory by sa dal pouzit na tuto situaciu a v ktorom by sa dalo povedat nieco taketo
$\frac{\omega_0}{2^{\omega_0}}=0$
to by potom miera musela zavisiet iba od kardinality a myslim (uplne isty si nie som), ze na R neexistuje taka miera co by splnala to, ze spocitatelne mnoziny maju nulovu mieru, nespocitatelne nenulovu a kazda mnozina je meratelna.

Eratosthenes · 30. 04. 2014 12:23

↑ Brano:

Samozřejmě, že se dá pravděpodobnost definovat všelijak. Mohu například tvrdit, že pravděpodobnost pádu šestky na regulérní hrací kostce je pi/4-0.1. Jednoduše proto, že jsem to tak nadefinoval. Jde o to, zda podle toho bude něco fungovat. Obávám se, že asi těžko. A rozumných konceptů (jak říkáš), kde by se dalo říct něco jako $\frac{\omega_0}{2^{\omega_0}}=0$ znám spoustu - zrovna třeba tento případ. Studentovi gymnázia jsem nechtěl motat hlavu s L-mírou, a tak jsem tam naznačoval ty obsahy a objemy. Takže si místo toho mysli L-míru a je vymalováno.

Brano · 30. 04. 2014 14:18 — Editoval Brano (30. 04. 2014 16:47)

↑ Eratosthenes:
chces snad povedat,ze nahodny proces ktory generuje 0 s pravdepodobnostou 2/3 a 1 s pravdepodobnostou 1/3 ni je nahodny, pretoze ... nie je rovnomerny? to asi nie!
alebo nahodne cisla z normalneho rozdelenia N(0,1) nebudu nahodne lebo ocividne sa ich nejak vela zgrupuje okolo 0?

ked sa povie "vyberam nahodne cislo z mnoziny ..." tak to nemusi nutne znamenat, ze ho vyberam rovnomerne nahodne - to bola prva vec co som sa snazil zdoraznit

druha vec je ze treba uznat, ze sa to tak obvykle mysli t.j. ak nespecifikujem ako nahodne, tak myslim rovnomerne nahodne. cim sa dostavame k druhemu problemu

jedine miery o ktorych viem a su "rovnomerne" t.j. translacne invariantne na R su Lebesgueova miera (pripadne nejake jej neuplne verzie ako napr. L-miera ale iba na borelovskych mnozinach) a potom take kde pre dostatocne velke mnoziny (v zmysle kardinality) je miera rovna nekonecno.
(t.j. napr. taka miera kde $\mu(A)=|A|$ ak je $A$ konecna a inak $\mu(A)=\infty$ - na taketo typy miery som narazal tou referenciu na podiel kardinalov, co bolo zrejme hodne nejasne.)

Podstata je, ze ziadna z tychto mier sa neda normalizovat teda sa z nich neda vyrobit pravdepodobnostna miera.

Co teda znamena ze veta "volim si nahodne realne cislo" nemoze znamenat ze si ho volim "rovnomerne nahodne" v ziadnom mne znamom zmysle. Je mozne, ze sa mylim tak ak poznas, tak napis nejaku lubovolnu translacne invariantnu pravdepodobnostnu mieru na R. (alebo daj odkaz.)
EDIT: este na doplnenie - nemoze to byt miera na uplne lubovolnej sigma algebre, lebo by v niektorich pripadoch nereprezentovala generovanie cisel. Je potrebne aby vsetky intervaly boli meratelne (a ako dosledok vsetky borelovske mnoziny).

A preto som hovoril, ze v takychto vyjadreniach treba byt opatrny, lebo akonahle mam povedane "volim si nahodne realne cislo" a nedokazem to interpretovat "rovnomerne nahodne" tak sa ziada aby bolo presne specifikovane rozdelenie z ktoreho si ho volim - ak to necham na citatela, tak sa mi moze stat, ze si nezvoli pravdepodobnostnu mieru, ktora ma hustotu voci lebesgueovej miere - t.j. takzvanu spojitu nahodnu premennu. A dufam ze sa ma nesnazis presvedcit, ze diskretne nahodne premenne su nezmyselne a nemaju ziadnu aplikaciu - teda ich ani netreba uvazovat.

Brano · 30. 04. 2014 16:53 — Editoval Brano (30. 04. 2014 17:06)

Eratosthenes napsal(a):
↑ Brano:
Mohu například tvrdit, že pravděpodobnost pádu šestky na regulérní hrací kostce je pi/4-0.1. Jednoduše proto, že jsem to tak nadefinoval. .

to sice mozes tvrdit ale proste to nebude pravda lebo je to v rozpore s tym co sa chape pod pojmom "regulerna" kocka

na druhu stranu mozes najst nejaky iny nahodny (resp. pseudonahodny ak neverime na nahodu) proces ktory generuje cislo 6 s pravdepodobnostou $\pi/4-0.1$ konkretne napr. ak $X\sim Alt(\pi/4-0.1)$ tak $6X$ to splna a takyto generator mozes vyuzivat v praxi kolko chces. Cela trieda rozdeleni $Alt(p)$ ma velmi siroke uplatnenie.

Eratosthenes napsal(a):
↑ Brano:
A rozumných konceptů (jak říkáš), kde by se dalo říct něco jako $\frac{\omega_0}{2^{\omega_0}}=0$ znám spoustu - zrovna třeba tento případ.

predpokladam, ze tu mali byt tri bodky na miesto jednej a ktore mali reprezentovat to myslis tym "tento pripad"
ktory si zatial teda nespecifikoval, lebo teoria miery to urcite nie je
(a ked uz sme u toho tak aritmetika kardinalnych cisel tiez nie, lebo ta vo vseobecnosti nepozna delenie)

miera totizto nadobuda bud konecne hodnoty, alebo "hodnotu" $\infty$ medzi roznymi typmi nekonecna vo vysledku nerozlisuje a ak sa to malo odvolavat iba na kardinalitu mnozin ktore merias tak urcite vo vseobecnosti neplati tvrdenie, ze ak $A\subseteq B$ a $|A|<|B|$ potom $\mu(A)=0$ .

Eratosthenes · 30. 04. 2014 18:13

↑ Brano:

čím více píšeš, tím méně mi zřejmě rozumíš. Takže úplně jednoduše. Zadání znělo: Jaká je pravděpodobnost, že číslo náhodně vybrané z R bude iracionální. K tomuto zadání můžu přistoupit tak, že řeknu: Nelze odpovědět, protože nemám definován ani pravděpodobnostní prostor (natož pravděpodobnost) a nevím, co znamená náhodně vybrat. To ale můžu tvrdit i u dotazu na pravděpodobnost pádu šestky na hrací kostce. Anebo můžu začít přemýšlet. Co je v tomto případě náhodným jevem? Výběr čísla z nějaké množiny. Co je univerzem? No tak asi R. Jaké jevy potřebuju? Jev jistý (to asi bude "vybrané číslo patří do R"), jev nemožný (to asi bude "vybrané číslo patří do prázdné množiny"), jev, na který se ptá úloha ("vybrané číslo patří do R-Q") a jev k němu opačný ("vybrané číslo patří do Q"). Jaké asi budou pravděpodobnosti? Dvě jsou jasné, zbývají ty dvě, o které se tady přeme. Ale ty jsou taky jasné - jedna a nula. Všechno ostatní je v rozporu s tím, jak (alespoň já) chápu kardinální čísla či L-míru.

Že nemám definováno, co znamená "náhodně vybrané reálné číslo", anebo translačně invariantní pravděpodobnostní míru? Nemám - no a co? To po mně úloha přece nechtěla. Až se mně někdo zeptá na to, na co můj model nebude stačit, až pak budu řešit něco dál. Obávám se, že s tvým přístupem by se na střední škole nedala zjistit ani délka kružnice.

Brano · 30. 04. 2014 23:23 — Editoval Brano (30. 04. 2014 23:39)

Ja som presvedceny ze ti rozumiem uplne, ale tak mozem teda formalne sformulovat to ako som to pochopil a napis ci je to tak.

Ty tvrdis, ze celu ulohu reprezentuje takyto model.

Mnozina (univerzum) je R, sigma algebra na nej je $A=\{\emptyset,Q,R-Q,R\}$ pravdepodobnost na $A$ te takato
$P(\emptyset)=0$ a $P(R)=1$ - to je povinne z teorie. A potom si volis $P(Q)=0$ z coho dostanes $P(R-Q)=1$ .
- co je v skutocnosti volba uplne nahodna - rovnako dobre obhajitelne je $P(Q)=1/3$ a $P(R-Q)=2/3$ .

Zakladny problem tohoto argumentu je v tom, ze tento model VOBEC nereprezentuje "nahodne vyberanie cisla z R" ale v podstate iba nahodnu volbu mnoziny z dvojice $Q,R-Q$ (co su v skutocnosti len dva nejake pekne vyzerajuce symboly) - preto tvrdim, ze tam si mozes bachnut cislo ake chces a je to rovnako dobre (v skutocnosti rovnako zle v kontexte povodnej otazky), pretoze nemas nijaky dovod sa snazit previazat tie pravdepodobnosti cez kardinality tych mnozin, lebo tvoj model do nich vobec nevidi.

Na to aby si modeloval nahodny vyber nejakeho cisla, tak potrebujes aby ta sigma algebra obsahovala vsetky intervaly (a ako dosledok vsetky borelovske mnoziny) - co je taky bezne uznavany konsenzus, ktory sa da osvetlit napr. takto: co keby som sa ta spytal, ok tak pravdepodobnost racionalneho cisla je 0 a aka je pravdepodobnost, ze to bude cislo z intervalu $(0,1)$ - aka by bola potom tvoja odpoved?

No a akonahle uz mas borelovsku sigma algebru na R, tak na nej nemas ziadnu kanonicku pravdepodobnostnu mieru.
Ak by uloha bola, ze tie cisla volime nahodne z intervalu $(0,1)$ tak tam mame kanonicku pravdepodobnostnu mieru/rozdelenie konkretne $R(0,1)$ .

A ok ja plne uznavam argumentaciu typu, ze na R mame kanonicku mieru - konkretne lebesgueovu - holt smola ze sa z nej neda urobit pravdepodobnostna, ale teda ak nikto nepovedal ako nahodne ideme volit to realne cislo, tak si zvolim nejaku pravdepodobnost co sa na tu L-mieru podoba t.j. nejake spojite rozdelenie a zistim - ahaho ved je to jedno vzdy mi odpoved vyjde 0 (ak teda beriem iba taketo specialne pravdepodobnosti), tak to bude asi to co sa tou otazkou myslelo; len som chcel upozornit, ze je tam taky dost netrivialny predpoklad.

A ja som to nepisal na to aby som plietol nejakemu stredoskolakovi hlavu, to bola cisto reakcia na tvoj prispevok a pre teba.