Matematické Fórum

Pav.Got.

Dobrý den,

chtěla by jsem Vás poprosit při pomoci rozkladu relace ekvivalence na třídy. Mám dva příklady, ve kterých ten rozklad nevidím.
Děkuji za jakoukoliv pomoc.

1. Dokažde že relace R definovaná v množine zlomků předpism $(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}) \in R\Leftrightarrow ad=bc$ , kde $a, b, c, d\in \mathbb{Z}$ a $bd\neq 0$ .
Podmínky pro ekvivalenci jsem dokázala, ale jak na rozklad, tak to teda doopravdy netuším.

2. V množině všech celých čísel $\mathbb{Z}$ je relace R definována takto: $(m, n)\in R\Leftrightarrow 3/m-n$ .
Opět i zde jsem dokázala určit, že se jedna o relaci ekvivaleci, ale jak na rozklad, tak to taktéž netuším.

Brano · 26. 04. 2014 10:41 — Editoval Brano (26. 04. 2014 10:43)

↑ Pav.Got.:
1) v jednej triede su vsetky take zlomky, ktore maju rovnaku hodnotu a ako kanonickeho reprezentanta mozes brat zlomok v zakladnom tvare.

t.j. $\frac{9}{15}R\frac{6}{10}$ a oba su v relacii s $\frac{3}{5}$ - ten je v zakladnom tvare, tak ho mozes brat ako reprezentanta.

v 2) skus porozmyslat - kolko je tych tried? Resp. skus si napisat co najviac cisel co je v relacii s $n=1$ a potom by si mala vidiet o co sa jedna.

Pav.Got. · 26. 04. 2014 15:43

↑ Brano:

Děkuji za reakci, ale bohužel mi to není nějak jasné.

Pav.Got. · 27. 04. 2014 18:25

↑ Pav.Got.:

Neporadíte někdo?

vanok · 27. 04. 2014 18:43 — Editoval vanok (27. 04. 2014 18:45)

Ahoj ↑ Pav.Got.:,
Co ti nie je jasne?
Uvedomelila si si, ze relacia ekvivalencii na A vytvori klasy ekvivalencie, ktore su disjonktne ( cize bez spolocnych prvkov) a ich unia da cele A
(inac povedane je to " partition " mnoziny A).
Kazda z tychto klas je vytvorena vsetkymi prvkamy mnoziny A, ktore su medzi sebou ekvivalentne.
Napr. Pre tvoju prvu relaciu, mas v kazdej klase su prvky co daju rovnake zlomky, z celym citatelom a nenulovym menovatelom.
Rozklad mnoziny ZxZ su vsetky klasy takychto prvkov.

A skus vyjadrit aj situaciu pre druhu relaciu...

Brano · 28. 04. 2014 13:55 — Editoval Brano (28. 04. 2014 13:56)

↑ Pav.Got.:
poradit som ti uz pre pripad 2) poradil - a pre pripad 1) som ti napisal uplne riesenie
je teda mozne, ze ti vobec nie je jasne co ta trieda ekvivalencii znamena - tak skus napisat aku ste mali definiciu a skus napisat ze co to podla teba znamena, resp. predstavuje a uvidime ako sa da pohnut dalej

Pav.Got. · 28. 04. 2014 21:08

↑ vanok:
Můj problém je v tom, že jak to mam napsané obecně, tak si to nedokažu představit jak to mý být. Jak je to konkretněji,tak to jde hnedka :(
Takže pro první případ je odpoveď: V každé třídě rozkladu jsou takové prvky, které dají rovnost zlomku s celym citatelem a nenulovým jmenovatelem. Rozklad množiny ZxZ jsou všechny třídy takových prvků.

Pro druhý případ: to vubec nevim.

vanok · 28. 04. 2014 21:36 — Editoval vanok (28. 04. 2014 21:37)

$(m, n)\in R\Leftrightarrow 3/m-n$ , co toto znamena?
m, n ked kazde z nich vvydelis 3 mi, ake mozes mat zvysky? Co potom mozes povedat ked mRn, ( ich zvyskoch po deleni?)

Pav.Got. · 28. 04. 2014 21:46

↑ Pav.Got.:
pro ten druhy případ me napadlo toto:
Celkem budou 3 třídy rozkladu .. první trida: zbytek 0 po dělení 3 , druhá třída: zbytek 1 po dělení trema, třetí třída: zbytek 2 po dělení třema

vanok · 28. 04. 2014 21:55

Tak vidis, si rozdelila Z na tri casti.

Pav.Got. · 28. 04. 2014 21:58

↑ vanok:
Děkuji za pomoc.

vanok · 28. 04. 2014 22:42

↑ Pav.Got.:,
Som rad, ze ti to pomohlo.

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2014 10:28 — Editoval Pav.Got. (26. 04. 2014 10:29)

Rozklad na třídy

#2 26. 04. 2014 10:41 — Editoval Brano (26. 04. 2014 10:43)

Re: Rozklad na třídy

#3 26. 04. 2014 15:43

Re: Rozklad na třídy

#4 27. 04. 2014 18:25

Re: Rozklad na třídy

#5 27. 04. 2014 18:43 — Editoval vanok (27. 04. 2014 18:45)

Re: Rozklad na třídy

#6 28. 04. 2014 13:55 — Editoval Brano (28. 04. 2014 13:56)

Re: Rozklad na třídy

#7 28. 04. 2014 21:08

Re: Rozklad na třídy

#8 28. 04. 2014 21:36 — Editoval vanok (28. 04. 2014 21:37)

Re: Rozklad na třídy

#9 28. 04. 2014 21:46

Re: Rozklad na třídy

#10 28. 04. 2014 21:55

Re: Rozklad na třídy

#11 28. 04. 2014 21:58

Re: Rozklad na třídy

#12 28. 04. 2014 22:42

Re: Rozklad na třídy

Zápatí