Matematické Fórum

Cheop · 30. 04. 2014 07:47

↑↑ Poboxitze:
No tady řešíš toto:
$|x+3|<2$
1)
$x+3<2\\x<-1$
2)
$-(x+3)<2\\-x-3<2\\x>-5$
Řešení:
$x\in(-5;\,-1)$

Rumburak · 30. 04. 2014 10:23

↑↑ Poboxitze:

Popsal jsem to zde - myslím, že velmi přesně. Co z toho není jasné? Rád dovysvětlím.

Hodně tazatelů požaduje "kuchařský recept" ve tvaru "nejdříve udělej to, potom ono ..." , ale o tom matematika není.
Matematika je o tom, že ze zadaných předpokladů a na základě svých teoretických znalostí si vhodný postup řešení
objevíš sama.

Poboxitze · 01. 05. 2014 11:53

"základě svých teoretických znalostí" kde a jak je čerpat? Na mě ten příklad působí jako marťanština. :-(

Poboxitze · 01. 05. 2014 16:42

$|x+3|<2$
1)
$x+3<2\\x<-1$
2)
$-(x+3)<2\\-x-3<2\\x>-5$
Řešení:
$x\in(-5;\,-1)$

Ty dva kroky jsou k čemu? A podle jakých kritérií k tomu vystavit graf? Takto? Pak mi to nepřide těžké, pak je to lehké, ale pak nechápu tuto gargantuovskou formulaci:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/55316_JPG.jpg

Především je důležité znát DEFINICI funkce "absolutní hodnota reálného čísla $r$ " . Ta definice má 2 větve:

(1) když $r \ge 0$ , potom $|r| := r$ ,

(2) když $r < 0$ , potom $|r| := -r$ .

Například tedy

$|5| = 5$ (protože $5 \ge 0$ , takže postupujeme podle (1) ) ,
$|-5| = 5$ (protože $-5 < 0$ , takže postupujeme podle (2) a $-(-5) =5$ ) .

Nerovnici

(3) $|x+3| < 2$

můžeme řešit i přímým použitím této definice. Analogicky s ní se úloha "rozpadne" na dva případy:

1. když $x + 3 \ge 0$ , potom $|x+3| = x + 3$ a nerovnici (3) můžeme zjednodušit na $x+3 < 2$ ,

2. když $x + 3 < 0$ , potom $|x+3| = -(x + 3)$ a nerovnici (3) můžeme zjednodušit na $-(x+3) < 2$ .

V praxi to znamená, že:

případ 1 vede k soustavě nerovnic $x + 3 \ge 0 , x+3 < 2$ (obě musí být splněny zároveň), jejíž všechna řešení
dají jistou množinu $M_1$ (předpokládám, že ji budeš umět určit sama),

případ 2 vede k soustavě nerovnic $x + 3 < 0 , -(x+3 ) < 2$ (obě musí být splněny zároveň), jejíž všechna
řešení dají jistou množinu $M_2$ (předpokládám, že ji budeš umět určit sama).

Nyní můžeme ony dvě "větve" zase spojit: množinou všech řešení nerovnice (3) je $M_1 \cup M_2$ .

EDIT. K té vzdálenosti:
Znázorníme-li reálná čísla na číselné ose obvyklým způsobem (tj. rovnoměrně) a budeme-li vzdálenost mezi body $x, x + 1$
považovat za jednotkovou, potom vzdáleností $d(u,v)$ reálných čísel $u, v$ na této ose bude číslo $|u - v|$ .

Rumburak

↑ Poboxitze:

Máš-li pod "gargantuovskou formulací" na myli ten následující obrázek, pak i mně připadá zbytečný a ne zcela jasný.

Anebo mám vypracovat možnost pro obě varianty?

ANO, o tom to je :-).

Uvažujme analogický příklad "z praxe". Chceme zjistit všechny přímé vlakové spoje z Prahy do Berouna. Máme zde ale dvě
přímé trati: jedna vede přes Rudnou a druhá přes Karlštejn. Musíme tedy zvlášť vyšetřít jednu i druhou z těchto základních možností.

Postup řešení od kolegy ↑ Cheop: není podán zcela přesně a v písemce by to patrně neprošlo.

Místo

$|x+3|<2$
1)
$x+3<2\\x<-1$
2)
$-(x+3)<2\\-x-3<2\\x>-5$
Řešení:
$x\in(-5;\,-1)$

mělo být - dejme tomu -

$|x+3|<2$
1)
$|\overline{\underline{ 0 \le }}| x+3<2\\-3 \le x<-1$
2)
$|\overline{\underline{ 0 < }}| -(x+3)<2\\0 < -x-3<2\\3 <-x<5 \\-3 >x>-5$
Řešení:
$x\in (-5, -3) \cup \langle -3, -1) = (-5;\,-1)$ .

Ty nerovnice v rámečkách jsou důležité tím, že podmiňují způsob, jak byla odstraněna absolutní hodnota.

Jinak teoretická znalosti se získávají - jak známo - jednak od učitelů, jednak samostudiem. Pokud jste matematiku
probírali na SŠ "jen tak, aby se neřeklo", pak Tě doceala lituji. Ale není vše ztraceno. Zkus si opatřit učebnice
pro jednotlivé ročníky gymnasia (jistě se dají vypůjčit v nějaké školsky zaměřené knihovně) a pusť se do nich,
s nejasnostmi zde případně pomůžeme. :-)

Je ještě nějaký dotaz ? Ale buď, prosím, stručná, aby lépe vynikla jeho podstata.

Poboxitze · 03. 05. 2014 13:00

"gargantuovskou formulací" myslím text od "Především je důležité znát DEFINICI funkce..." do "... na této ose bude číslo $|u - v|$ ."

Na škole jsme to probírali typem "nacpi do krku toho kola před tebou ten placatý kov, a pohybem onoho kolesa budeš uvádět do pohybu přední sklo."

Ale nikdo nám neřekl, pomyslně, že je to volant a ovládáme jím přední kola. Pak si to pročtu, teď tu jsem jen omrknout situaci. Ty učebnice si seženu, člověk musí furt růst. :)

Poboxitze · 03. 05. 2014 20:08

PS:

Místo
$|x+3|<2$
1)
$x+3<2\\x<-1$
2)
$-(x+3)<2\\-x-3<2\\x>-5$
Řešení:
$x\in(-5;\,-1)$
mělo být - dejme tomu -

$|x+3|<2$
1)
$|\overline{\underline{ 0 \le }}| x+3<2\\-3 \le x<-1$
2)
$|\overline{\underline{ 0 < }}| -(x+3)<2\\0 < -x-3<2\\3 <-x<5 \\-3 >x>-5$
Řešení:
$x\in (-5, -3) \cup \langle -3, -1) = (-5;\,-1)$ .

Abych řekla pravdu, nerozumím ani jednomu řešení, ale tvé verzi ještě ménně. Co jsou ty části navíc? :)

Vašek · 03. 05. 2014 20:18 — Editoval Vašek (03. 05. 2014 20:18)

Nejjednoduší je namalovat si osu, kde máš nulový bod
http://forum.matweb.cz/upload3/img/ … 10_osa.jpg
a řešíš v obou částech, tedy
1. x<-3, dosadíš teda do nerovnice a máš
$-x-3<2$ , tedy $x>-5$ , takže v 1. pásmu, když je x<-3, tak je x>-5
stejně ve 2.
$x+3<2$ , tedy $x<-1$ , takže v 2. pásmu, když je x>-3, tak je x<-1 a uděláš průnik
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/40984_osa_1.jpg
Takže řešení je $(-5,-3)\cap (-3,-1)$

Rumburak

↑ Poboxitze:

Ony "části navíc" souvisejí s definicí absolutní hodnoty. Pokusím se to vysvětlit podrobně - snaž se tomu porozumět.

Řěšíme tedy nerovnici $|x+3|<2$ . Abychom se dostali dál, musíme se nejprve nějak vypořádat s tou absolutní hodnotou,
tj. musíme převést nerovnici na nějakou ekvivalentní formuli, v níž se funkce "absolutní hodnota" už vyskytovat NEBUDE .
K tomuto kroku můžeme využít definici absolutní hodnoty z reálného čísla $r$ . Ta definice říká toto:

$|r| := r$ v případě $r \ge 0$ ,
$|r| := -r$ v případě $r < 0$

(můžeme říci, že definice se "větví"). Tudíž když ji aplikujeme na číslo $r = x+3$ , dostáváme

$|x+3| = x+3$ v případě $x+3 \ge 0$ ,
$|x+3| = -(x+3)$ v případě $x+3 < 0$ ,

neboli
$|x+3| = x+3$ v případě $x \ge -3$ ,
$|x+3| = -(x+3)$ v případě $x < -3$ .

Proto jednou z možností, jak formuli $|x+3|<2$ vyjádřit bez absolutní hodnoty, je respektovat výše uvedené "větvení"
v definici absolutní hodnoty. Tím se nám postup při řešení úlohy rozvětví na dvě části - jedna bude platná pro případ $x \ge -3$ ,
kdy $|x+3| = x+3$ , takže nerovnici $|x+3|<2$ můžeme zapsat jako $x+3<2$ , druhá pro případ $x < -3$ ,
kdy $|x+3| = -(x+3)$ , takže nerovnici $|x+3|<2$ můžeme zapsat jako $-(x+3)<2$ .

Podrobněji už to vysvětlit neumím.

Můžeš postupovat i tak, že nejdříve kompletně vyřešíš nerovnici $|r| < 2$ s neznámou $r$ , tím dostaneš $-2 < r < 2$ ,
a až do této složené nerovnice dosadíš $r = x+3$ a budeš pokračovat.

Také je možno zbavit se absolutní hodnoty umocněním nerovnice $|x+3|<2$ resp. $|r| < 2$ na druhou, protože

1) na obou jejích stranách jsou nezáporná čísla a v oboru nezáporných čísel je funkce $x^2$ rostoucí (tj. když $0 \le a< b$ ,
potom $0 \le a^2< b^2$ ) ,

2) pro reálná $r$ platí $|r|^2 = r^2$ .

Poslední tvrzení dokažme:
- pokud $r \ge 0$ , potom $|r| = r$ , takže triviálně $|r|^2 = r^2$ ,
- pokud $r < 0$ , potom $|r| = -r$ , takže $|r|^2 = (-r)^2 = $(-1)r$^2 = (-1)^2r^2 = 1r^2=r^2$ .

Poboxitze · 08. 05. 2014 10:16

↑ Vašek:

To mi prosím vysvětli, z nějakého důvodu jsi tam tu nulu nenapsal, a zstále nevím, proč jsou někdy ty členy "x a 3" kladné a někdy záporné.

jelena · 08. 05. 2014 11:18

↑ Poboxitze:

Zdravím,

otevřela jsi již nějaký materiál (knižně doporučuji Poláka "Přehled středoškolské matematiky" - ale psala jsi, že jsi v minulém roce maturovala - co jste používali za knihy během studia?), online např. toto a přečetla jsi kapitolu o absolutní hodnotě od začátku? Kniha se bude číst rozhodně pohodlněji. Pokud je čtení problém, tak se podívej na videa a applety (těch už je také dost).

Jinak je to ztráta času - vypisování variant podrobných postupů bez pochopení základů teorie (ať se kolegové snaží sebevíce).

Kolega Vašek nulu napsal: $x<-3$ je totéž jako 1. podmínka pro výraz uvnitř absolutní hodnoty $(x+3)<0$ , tedy rovnici na tomto intervalu $x\in (-\infty;\,-3)$ přepíšeme bez absolutní hodnoty jako $-(x+3)<2$ a pokračuješ podle kolegů.

Poboxitze · 09. 05. 2014 18:00

Máš pravdu, ocením možnost si kvalitně doplnit základy... pak se sem vrátím. Jak říkám, naše učitelka (ba celá výuka) matiky byla pouhá formalita, a je to vidět na výsledku.

jelena · 09. 05. 2014 18:22

↑ Poboxitze:

děkuji, určitě čtení knihy bude vhodnější - problémová místa pročítej s tužkou a nahlas, jako bys někomu vysvětlovala.

Matematické Fórum

#26 30. 04. 2014 07:47

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#27 30. 04. 2014 10:23

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#28 01. 05. 2014 11:53

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#29 01. 05. 2014 16:42

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#30 02. 05. 2014 09:49 — Editoval Rumburak (02. 05. 2014 11:34)

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#31 03. 05. 2014 13:00

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#32 03. 05. 2014 20:08

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#33 03. 05. 2014 20:18 — Editoval Vašek (03. 05. 2014 20:18)

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#34 05. 05. 2014 10:25 — Editoval Rumburak (06. 05. 2014 11:10)

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#35 08. 05. 2014 10:16

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#36 08. 05. 2014 11:18

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#37 09. 05. 2014 18:00

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#38 09. 05. 2014 18:22

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

Zápatí