Matematické Fórum

MatematickyZlocinec

Zdravím,

Populární úloha na hledání extrémů. Našel jsem ji asi 10x zmíněnou jako vzorový příklad, ale náznak řešení se jaksi nekonal.

Z města B vzjíždí po přímočaré železniční trati do města A vzdáleného 100km rychlostí 120km/h rychlík. Ve stejném okamžiku vyjíždí z města A po přímé silnici do města C vzdáleného 200 km rychlostí 90km/h automobil. Velikost úhlu BAC je 30° . Za jak dlouho bude vzdálenost rychlíku od automobilu nejmenší a čemu se bude rovnat?

Co si z toho vezmu:

Není to pravoúhlé, takže všechny hezké vzorečky nepůjdou použít.

Existuje věta kosinová, kterou můžu použít pro zjištění strany a (úsečka |BC|). Ta vyjde jako hodně ošklivé číslo.

Slyšel jsem něco o tom, že dráha má co dočinění s rychlostí a časem. s=v*t. Vzdálenost kterou ujede vlak bude $100-v_{v}*t_{v}$ , vzdálenost, kterou ujede auto bude $200-v_{a}*t_{a}$ . Opět zasahuje věta kosinová, kterou počítám pro stranu a s čarou, která bude z nějakého důvodu nějak podobná (dopočitatelná) se stranou $a$ . A tohle pravidlo nemůžu najít. Bez něj mám jednu rovnici pro dvě neznámé.

Pokud najdu výše zmíněnou stranu a resp. a s čarou spočítám čas a délka té strany bude asi ta nejmenší vzdálenost. Nějaké nápady ohledně podobnosti té strany?

//Pokud to budu hledat přes derivace asi to nebude tak ošklivé.

//Našel jsem něco ohledně podobnosti a vyšlo mi, že trojúhelníky si nejsou podobné :(

$\frac{100}{100-90t} nerovna se \frac{200}{200 - 120t}$

Vašek · 30. 04. 2014 18:44

Ahoj, zkus se podívat na toto (fyzikální olympiáda)
http://fyzikalniolympiada.cz/archiv/54/fo54a2_z.pdf zadání
http://fyzikalniolympiada.cz/archiv/54/fo54a2_r.pdf řešeení

byk7 · 30. 04. 2014 18:48

$t_v=t_a$

MatematickyZlocinec

↑ Vašek:
Zdravím,
Popravdě moc nechápu co s tím. Rycholst je konstantní a celé se to opíra o pravúhlý trojúhelník. Neříkám, že v tom není řešení jen ho tam vůbec nevidím.

↑ :
Ano t mám to dopsano v rovnici o podobnosti, ale pokud ten trojúhelník není podobný jsem mírně nahraný.

mák · 30. 04. 2014 19:05

Zdravím,
vždyť je to úplně jednoduchý.
Vzdálenost mezi vlakem a autem v kterémkoliv okamžiku je:
$\sqrt{\left({\it y_1}-{\it y_2}\right)^2+\left({\it x_1}-{\it x_2} \right)^2}$
Přičemž
$\left[ {\it x_1} , {\it y_1} \right] = \left[ 100-120\,t , 0 \right]$
Jsou souřadnice vlaku podle času
a
$\left[ {\it x_2} , {\it y_2} \right] = \left[ 90\,\cos \left({30^\circ}\right)\,t , 90\,\sin \left({30^\circ}\right)\,t \right]$
jsou souřadnice auta také podle času.

Čas je v hodinách.
Provedeš derivaci vzdálenosti podle času a řešíš jednoduchou lineární rovnici.
Měla by ti vyjít necelá půlhodina.

Jj · 30. 04. 2014 19:17

↑ mák:

Dobrý den, v podobných případech tu někteří kolegové doporučovali počítat minimum ze čtverce vzdálenosti (derivace jednodušší, výsledek stejný).

mák · 30. 04. 2014 19:22 — Editoval mák (30. 04. 2014 19:22)

↑ Jj:
Zdravím, taky mě to napadlo, ale až teď, co jsem si to ověřil. Je to pravda. Ta odmocnina tam nemusí být.

MatematickyZlocinec

↑ mák:
Děkuji. šel by ten úplně jednoduchý postup vysvětlit? Vím co je x1 o co je nebo proč platí zbytek netuším.

//Vzdalenost dvou bodu, s tim ze prvni souradnice je delka puvodni strany delka kterou ujede vlak za jednotku casu.

Smulis · 30. 04. 2014 22:44 — Editoval jelena (30. 04. 2014 23:02)

Jelena: upraveno s ohledem na 3. bod pravidel viz pravidla

Ahoj ↑ MatematickyZlocinec:

K pochopení musíš znát základy analytické geometrie a derivace, budu teda předpokládat, že to znáš.

Nejprve si náčrtek umístíš do soustavy souřadnic tak, že bod A má souřadnice [0;0], bod B leží na kladné poloose x a bod C umístíš libovolně, např. někam pod tyto dva body. Teď musíš nějak vyjádřit okamžitou polohu rychlíku a automobilu.

Dráha se vypočítá jako:
$s = v*t$

např. dráha rychlíku:
$s=120*t$

Okamžitá poloha rychlíku bude jak už ↑ mák: psal:
$\left[ {\it x_1} ; {\it y_1} \right] = \left[ 100-120\,t ; 0 \right]$

Doufám, že ti to pomůže. :-)

jelena · 30. 04. 2014 23:08

↑ Smulis:

Zdravím a děkuji za ochotu. Ovšem text Tvého příspěvku jsem upravila s ohledem na pravidlo 3 a na doporučení pro odpověď.

Zadání je aktuální projekt, autor tématu prokázal, že své úlohy dokáže řešit samostatně, jen potřebuje drobné nápovědy. Věřím, že v těch drobných nápovědách se zorientuje a projekt zpracuje samostatně.

Omluva za smazání - kompletní text zprávy máš v PM, jen drobné doporučení - zápis $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (apod.) je lepší ponechat tak, nepřevádět na zaokrouhlené číslo. Děkuji.

Smulis · 01. 05. 2014 00:38 — Editoval Smulis (01. 05. 2014 00:42)

↑ jelena:

Taky zdravím. Autor příspěvku požádal o řešení, protože nepochopil nápovědy, tak jsem mu vyhověl.

↑ MatematickyZlocinec:

Děkuji. šel by ten úplně jednoduchý postup vysvětlit?

Ano, postup je skutečně jednoduchý, ale chápu, že někteří ho pochopit nemusí. Když o vysvětlení přímo požádal, myslím, že tohle je to správné místo. Mýlím se? Rozhodně by to nebylo poprvé, co tu celé řešení bylo. I mně už přišla odpověď s kompletním řešením.

jelena · 01. 05. 2014 08:53

↑ Smulis:

děkuji. Kompletní řešení je místní folklor. Samozřejmě odpovídající nemá za povinnost kontrolovat zdroj a účel zadání. Ale poskytnutí kompletního řešení lze velmi snadno předejit tak, že se zaměříš na vysvětlení problémového momentu, se kterým se autor dotazu potýká.

Děkuji. šel by ten úplně jednoduchý postup vysvětlit? Vím co je x1 o co je nebo proč platí zbytek netuším.

//Vzdalenost dvou bodu, s tim ze prvni souradnice je delka puvodni strany delka kterou ujede vlak za jednotku casu.

Což je sestavení funkce k vyšetření na extrém (některou vhodnou metodou). A k tomuto momentu jsi poskytl zatím zcela dostačující vysvětlení v té části, co jsem v příspěvku ponechala. Pokračujte, prosím, v postupné debatě.

ale chápu, že někteří ho pochopit nemusí.

Kolega nejen, že musí pochopit princip, na základě kterého zpracuje svou práci, ale i přesvědčit vyučující, že pochopil dostatečně, aby předmět byl považován za splněný. Ale samozřejmě - odpovídající na fóru nemá za povinnost tuto část hlídat. Stačí neposkytovat kompletní řešení.

OT: Tvé téma jsem četla - podle úvodu jsi se dostal v řešení celkem daleko, ale chyběla vhodná "standardní metoda". V principu - pro další využití co má větší efekt - jeden konkrétně vyřešený příklad (v tom konkrétně vyřešeném příkladu není ideální, že není stanoveno omezení do kterého iteračního kroku se bude počítat), nebo odkazy na metodiky? Tuto debatu můžeme pokračovat v odkazovaném tématu (k problému výpočtu), nebo v tématu o kompletních řešeních - viz 1. řádek Nástěnky (levý horní roh fóra).

K tématu - podrobná práce k problému. Zdárné pokračování přeji.

MatematickyZlocinec · 01. 05. 2014 10:26

Děkuji za ochotu a Váš čas nad tím strávený. Moc mně mrzí, že jsem včera neponocoval, protože nevím jak se k tomu dopracovat.

jelena · 01. 05. 2014 10:30

↑ MatematickyZlocinec:

Začni tím, že si uděláš v tématu pořádek - jako první krok doporučuji vložit obrázek s jasným označením dle zadání a uvedených doporučení. Děkuji.

MatematickyZlocinec · 01. 05. 2014 10:48

↑ jelena:
Tohle mam od vcerejska bezezmeny.

http://tinypic.com/r/2r2sxep/8

jelena · 01. 05. 2014 11:21

↑ MatematickyZlocinec:

děkuji, trochu si ztížuješ situaci, že kreslíš do 4. kvadrantu. Zkus ještě překreslit (v podstatě stejně) do 1. kvadrantu. Bod C je jen pomocný, abychom naznačili situaci. Podstatné je pořádně vyznačit body, ve kterých se nachází auto a vlak v okamžiku t a úsečku, jejíž délku počítáme.

kolega mák napsal(a):
Vzdálenost mezi vlakem a autem v kterémkoliv okamžiku je:
$\sqrt{\left({\it y_1}-{\it y_2}\right)^2+\left({\it x_1}-{\it x_2} \right)^2}$
Přičemž
$\left[ {\it x_1} , {\it y_1} \right] = \left[ 100-120\,t , 0 \right]$
Jsou souřadnice vlaku podle času
a
$\left[ {\it x_2} , {\it y_2} \right] = \left[ 90\,\cos \left({30^\circ}\right)\,t , 90\,\sin \left({30^\circ}\right)\,t \right]$
jsou souřadnice auta také podle času.

2 momenty pro Tvůj další postup: najít vzorec pro výpočet vzdálenosti bodů (analytická geometrie), udělat si jasno, jak kolega mák přišel na nové souřadnice v závislosti na času t (fyzika, rovnoměrný pohyb). Pokračuj, prosím, můžeš i dotazy ke 2 momentům.

Smulis · 01. 05. 2014 11:32

↑ jelena:

Čím konkrétně je situace ztížená, když kreslíme do 4. kvadrantu? Vzhledem k tomu, že y souřadnice rychlíku bude vždy 0, tak je úplně jedno, jestli uvažujeme momentální polohu auta v 4. nebo 1. kvadrantu. (Při zadání do vzorce pro vzdálenost stejně uvažujeme druhou mocninu - vždy kladné číslo)

jelena · 01. 05. 2014 11:44

↑ Smulis:

pro mne není ztížena nijak. U kolegy je první pokus práce se sestavením funkce, tedy si může rovnou rozvážit, která varianta je přehlednější (nejen na pohled, samozřejmě). Pokud bychom zvolili trochu jiný způsob vyjádření předpisu přímky AC (ve tvaru $y=kx$ ), potom trošku zbytečně pracujeme se zápornou hodnotou $k$ . Kolega je budoucí VŠ IT specialista, tak i takové drobnosti musí uvažovat.

Zatím se držíme návodu kolegy ↑ mák:.

MatematickyZlocinec · 01. 05. 2014 13:08

↑ jelena:
Vzdalenost dvou bodu a velikost usecky je to same, v tomhle neni problem. Jak se prislo na souradnice bodu kde je sinus a cosinu proste netusim a neprijdu na to. Bod je prusecik dvou primek, na to abych udelal prusecik potrebuju rovnice tech primek, na rovnici nejaky vektor ten nemam/nevidim ho.

jelena · 01. 05. 2014 13:56 — Editoval jelena (01. 05. 2014 13:56)

↑ MatematickyZlocinec:

ano, souhlasím.

V tomto případě je cílem úsečka (jejíž délku hledáme) a bude spojovat 2 body. Jeden bod bude na ose x směrem od B k A, tam se dostane rychlík, tento bod označíme třeba $R$ a jeho souřadnice najdeš u kolegy ↑ mák:, druhý bod je na přímce od A směrem k C, to je, kam se dostane automobil (označíme ho třeba polsky $S$ ) a jeho souřadnice jsou také u kolegy mák.

Prakticky si vezmeš 2 autíčka (nebo kostky, nebo to, co doma máš), nakresli si na stul mapku dle zadání a pohybuj se dle zadání.

Moment 2. - jak zapsat souřadnice bodů R, S? Zde možná budeme potřebovat zápisy přímek, nebo můžeme vycházet z pravoúhlého trojúhelníku - viz kolega mák pro bod S. Souřadnice bodu R je jasná?

Smulis · 01. 05. 2014 15:17 — Editoval Smulis (01. 05. 2014 15:17)

↑ MatematickyZlocinec:

Použijeme označení bodů jako ↑ jelena::

souřadnice bodu $R$ lze spočítat snadno. Bod leží na ose x a tedy: $y_{1} = 0$ Rychlík se pohybuje pouze ve směru osy x a začíná v bodě $B[100;0]$ . Dráhu, kterou rychlík ujede, spočteme jako $v*t$ . Ale protože vlak jede po ose x směrem k bodu $[0;0]$ , jeho souřadnice na ose x se musí zmenšovat - odtud:

↑ mák:
$\left[ {\it x_1} , {\it y_1} \right] = \left[ 100-120\,t , 0 \right]$

Ze souřadnic tedy víme, že aktuální poloha bude záviset na čase.

S bodem $S$ je to trochu složitější, protože se nám mění jak souřadnice x tak i souřadnice y. Při tvojem nákresu si dokresli ještě jednu přímku rovnoběžnou s osou y a posuň ji doprava. Vznikne ti pravoúhlý trojúhelník s pro tebe významným úhlem $\alpha =30°$ . Ten použiješ k výpočtu souřadnice x a y bodu $S$ .

MatematickyZlocinec · 01. 05. 2014 19:04

http://tinypic.com/r/2cxb0ib/8

jelena · 01. 05. 2014 19:30 — Editoval jelena (01. 05. 2014 19:33)

↑ MatematickyZlocinec:

děkuji za další příspěvek. Hledat jsi chtěl funkci $f(t)$ , která bude vyjadřovat závislost vzdálenosti bodů na proměnné $t$ (čas).

Zde máš obrázek (omluva za provedení, lepší nebude a ladím s Tebou - můžeš také pokračovat použitím Malování) na kterém je vyznačena cesta z A do C, 200 km, čárky značí 50 km.

Přímka AC má s osou x úhel 30 stupňů (ať nezapomeneme).

Vyznač, prosím, na tomto obrázku polohu auta v čase 30 minut, 1 hodina, 2 hodiny od startu z A k C (za předpokladu, že má rychlost 90 km/h). A zapiš polohu každého bodu pomocí souřadnic x, y. A potom vyznač libovolný bod R, do kterého se auto dostane za čas t na přímce AC. Děkuji.

MatematickyZlocinec · 01. 05. 2014 20:16

↑ jelena:
http://tinypic.com/r/nl7top/8 - ten popisek je mysleny zcela vazne.

jelena · 01. 05. 2014 20:24

↑ MatematickyZlocinec:

zdroj problému jsme našli - auto jede po cestě z A do C, tedy na této přímce máš vyznačit vzdálenost, kterou ujede (např. za 30 minut) ujede 45 km - a to napiš nad přímku nad 1. úsek. V pravoúhlém trojúhelníku to dělá přeponu. A teď přes sin, cos, dopočti souřadnice x - to, co je pod osou x, y - to, co je vedle svislé čáry.

Matematické Fórum

#1 30. 04. 2014 18:02 — Editoval MatematickyZlocinec (30. 04. 2014 18:46)

Extremální úloha

#2 30. 04. 2014 18:44

Re: Extremální úloha

#3 30. 04. 2014 18:48

Re: Extremální úloha

#4 30. 04. 2014 18:52 — Editoval MatematickyZlocinec (30. 04. 2014 18:58)

Re: Extremální úloha

#5 30. 04. 2014 19:05

Re: Extremální úloha

#6 30. 04. 2014 19:17

Re: Extremální úloha

#7 30. 04. 2014 19:22 — Editoval mák (30. 04. 2014 19:22)

Re: Extremální úloha

#8 30. 04. 2014 19:54 — Editoval MatematickyZlocinec (30. 04. 2014 20:42)

Re: Extremální úloha

#9 30. 04. 2014 22:44 — Editoval jelena (30. 04. 2014 23:02)

Re: Extremální úloha

#10 30. 04. 2014 23:08

Re: Extremální úloha

#11 01. 05. 2014 00:38 — Editoval Smulis (01. 05. 2014 00:42)

Re: Extremální úloha

#12 01. 05. 2014 08:53

Re: Extremální úloha

#13 01. 05. 2014 10:26

Re: Extremální úloha

#14 01. 05. 2014 10:30

Re: Extremální úloha

#15 01. 05. 2014 10:48

Re: Extremální úloha

#16 01. 05. 2014 11:21

Re: Extremální úloha

kolega mák napsal(a):

#17 01. 05. 2014 11:32

Re: Extremální úloha

#18 01. 05. 2014 11:44

Re: Extremální úloha

#19 01. 05. 2014 13:08

Re: Extremální úloha

#20 01. 05. 2014 13:56 — Editoval jelena (01. 05. 2014 13:56)

Re: Extremální úloha

#21 01. 05. 2014 15:17 — Editoval Smulis (01. 05. 2014 15:17)

Re: Extremální úloha

#22 01. 05. 2014 19:04

Re: Extremální úloha

#23 01. 05. 2014 19:30 — Editoval jelena (01. 05. 2014 19:33)

Re: Extremální úloha

#24 01. 05. 2014 20:16

Re: Extremální úloha

#25 01. 05. 2014 20:24

Re: Extremální úloha

Zápatí