Matematické Fórum

zzajabc · 01. 05. 2014 11:43

Zdravím. Mám problém s vyrátaním určitého integrálu pri výpočte dlžky krivky. Dostanem integral v tvare $\int_{-1,45}^{3,45}\sqrt{1+4x^2}dx$ . Neviem ako si poradiť s tou odmocninou. Vie mi niekto pomôcť, prosím ? Ďakujem

Freedy · 01. 05. 2014 12:02

Ahoj,

tento příklad je jako dělaný na substituci. Můžeš vyzkoušet například:
1) $2x=\text{tan}(y)$
2) $2x=\text{sinh}(y)$
3) $2x=\text{cosh}(y)$
Integrál pak přejde na snadnější formu, kterou by už neměl být problém vypočítat.

zzajabc · 01. 05. 2014 12:14

Aha. Rozumiem ako to myslíš, ale nejako sa neviem dopracovať k vysledku. Vedel by si mi to , prosím ťa , trošku podrobnejšie rozpísať? Ak nie, nič sa nedeje :) Ďakujem

Freedy · 01. 05. 2014 15:00

Ahoj,

tak třeba substituce:
$2x=\text{sinh}(y)$
$\text{dx}=\frac{\text{cosh}(y)}{2}\text{dy}$
$\frac{1}{2}\int_{}^{}\sqrt{1+\text{sinh}^2y}\cdot\text{cosh}(x)\text{dx}$
$\frac{1}{2}\int_{}^{}\text{cosh}^2(x)\text{dx}$

Tento integrál vypadá poměrně pěkně, abychom ho vyřešili, musíme vyjít z definice této hyperbolické funkce:
$\text{cosh}(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}$
Máme tedy integrál:
$\frac{1}{2}\int_{}^{}(\frac{\mathrm{e}^{y}+\mathrm{e}^{-y}}{2})^2\text{dy}$
$\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{\mathrm{e}^{2y}+2+\mathrm{e}^{-2y}}{4}\text{dy}$
$\frac{1}{8}\int_{}^{}\mathrm{e}^{2y}+2+\mathrm{e}^{-2y}{dy}$
Toto už je velice jednoduché integrovat:
$\frac{1}{8}(\frac{\mathrm{e}^{2y}}{2}+2y-\frac{1}{2\mathrm{e}^{2y}}) = \frac{\mathrm{e}^{2y}}{16}+\frac{y}{4}-\frac{1}{16\mathrm{e}^{2y}}$

Máme tedy:
$\int \text{cosh}^2(y)\text{dy} = \frac{\mathrm{e}^{2y}}{16}+\frac{y}{4}-\frac{1}{16\mathrm{e}^{2y}}$
Na začátku byla použita substituce:
$2x = \text{sinh}(y)$
Vyjádříme y
$y=\text{argsinh}(2x)$
A dosadíme:
$\int_{-1,45}^{3,45}\sqrt{1+4x^2}\text{dx}= \frac{\mathrm{e}^{2\text{argsinh}(2x)}}{16}+\frac{\text{argsinh}(2x)}{4}-\frac{1}{16\mathrm{e}^{2\text{argsinh}(2x)}}$
Vypadá to možná hrůzostrašně.
Pokud ale využiješ tohoto faktu:
$\mathrm{e}^{2\text{argsinh}(2x)} = 8x^2 + 4x\sqrt{4x^2+1}+1$
Lze výsledek upravit:
$\frac{ 8x^2 + 4x\sqrt{4x^2+1}+1}{16}+\frac{\text{argsinh}(2x)}{4}-\frac{1}{16( 8x^2 + 4x\sqrt{4x^2+1}+1)}$
$\frac{1}{16}(8x\sqrt{4x^2+1}+4\text{argsinh}(2x))$
$\frac{x\sqrt{4x^2+1}}{2}+\frac{\text{argsinh}(2x)}{4}$

Zde už se s tím nic víc vyrobit nedá. Proto už jen zbývá dosadit a zmáčknout na kalkulačce.

Jj · 01. 05. 2014 15:29 — Editoval Jj (01. 05. 2014 15:34)

↑ Freedy:

Zdravím, řekl bych, že substituce je správná, ale postup se dá podstatně zkrátit:

Podobně jako u goniometrických, tak i u hyperbolických funkcí platí identita
$cos^2hx=\frac{1+cosh2x}{2}$ .

Takže
$\frac{1}{2}\int cosh^2xdx=\frac{1}{4}\int(1+cosh2x)dx = \cdots$

Freedy · 01. 05. 2014 17:13

↑ Jj:
Děkuju,
v hyperbolických funkcích se zas tak dobře neorientuju jako v goniometrických.

zzajabc · 01. 05. 2014 22:15

Super, Ďakujem veľmi pekne :)

Matematické Fórum

#1 01. 05. 2014 11:43

Určitý integrál - dlžka krivky

#2 01. 05. 2014 12:02

Re: Určitý integrál - dlžka krivky

#3 01. 05. 2014 12:14

Re: Určitý integrál - dlžka krivky

#4 01. 05. 2014 15:00

Re: Určitý integrál - dlžka krivky

#5 01. 05. 2014 15:29 — Editoval Jj (01. 05. 2014 15:34)

Re: Určitý integrál - dlžka krivky

#6 01. 05. 2014 17:13

Re: Určitý integrál - dlžka krivky

#7 01. 05. 2014 22:15

Re: Určitý integrál - dlžka krivky

Zápatí