Matematické Fórum

Makakpo

Ahojte, mam problem s pochopenim tayloroveho radu, na wikipedii som nasiel toto: http://sk.wikipedia.org/wiki/Taylorov_rad

Tam je napisane ze to $f^(n)(a)$ je n-ta derivacia funkcie f v bode a no a zrazu dole je uvedene ze:

$sin(x)=x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}$ a to mi nejako nesedi lebo predsa derivacia $sin(x)$ je $cos(x)$ a derivacia cosinusu je $-sin(x)$ a tak dalej, mozeme to zderivovat aj milionkrat ale stale sa bude striedat sin a cos s meniacimi sa znamienkami tak ako je mozne ze sa to rovna takemu peknemu radu? Ako sa to odvodzuje? Je niekto ochotny mi to tu podrobne odvodit?

Bati · 02. 05. 2014 15:44 — Editoval Bati (02. 05. 2014 15:47)

Ahoj ↑ Makakpo:,
nevím jestli rozumím tvému dotazu, ale jestliže znáš Taylorovy řady sinu a kosinu, pak vlastnost, že derivace sinu je kosinus plyne snadno z derivování těch řad člen po členu (unvnitř kruhu konvergence). Naopak, jestliže jsi k funkcím sinus, kosinus přišel nějak jinak než přes řady, pak tu jejich vlastnost o derivování odvodíš z definice a následně z této vlastnosti odvodíš přes definici jejich Taylorovy řady.

Jde tedy o to, jak máš sinus definovaný, ale všechno je to ve výsledku ekvivalentní. Definice pomocí mocninných řad je však výhodnější z pohledu komplexní analýzy.

Makakpo · 02. 05. 2014 15:58

stale nechapem ako sa dopracujeme k tomu mocninovemu radu ..

Bati · 02. 05. 2014 17:12

↑ Makakpo:
No vyjděme tedy z toho, že $(\sin{x})'=\cos{x}$ , $(\cos{x})'=-\sin{x}$ . Z těchto vztahu se indukcí dokáže, že $(\sin{x})^{(2k)}\mid_0=0$ , $(\sin{x})^{(2k+1)}\mid_0=(-1)^k$ . Z definice Taylorova polynomu mám, že
$T_{\sin,0}^{2n+1}(x)=\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{(\sin{x})^{(k)}\mid_0}{k!}x^k=\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^{m}}{(2m+1)!}x^{2m+1}$ . Zbývá dokázat, že $\lvert\sin{x}-T_{\sin,0}^{2n+1}(x)\rvert\to0$ pro $n\to\infty$ , $x\in\mathbb{R}$ , což se dá pomocí nějakého tvaru zbytku.

jarrro · 02. 05. 2014 17:14

tie derivácie sú tam v konkrétnom bode teda sú to čísla stačí tam dosadiť nulu a vyjdu pekné koeficienty

Jj · 02. 05. 2014 17:30 — Editoval Jj (02. 05. 2014 20:44)

Makakpo napsal(a):
$sin(x)=x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}$ a to mi nejako nesedi lebo predsa derivacia $sin(x)$ je $cos(x)$ a derivacia cosinusu je $-sin(x)$ a tak dalej, mozeme to zderivovat aj milionkrat ale stale sa bude striedat sin a cos s meniacimi sa znamienkami tak ako je mozne ze sa to rovna takemu peknemu radu?

Dobrý den, máte pravdu, že obecně při derivaci sinu střídá sinus, cosinus, .... jen je třeba uvážit, že v Taylorově řadě se nejedná o derivaci sinu v obecném, ale v konkrétním bodě.

Takže když se funkce sinus rozvádí podle Taylorova rozvoje např. v okolí bodu x = 0, pak se derivace vyčíslují v bodě 0 (po derivování se dosadí x = 0):

sinx = sinx, sin(0) = 0
(sinx)' = cosx, cos(0) = 1
(sinx)'' = -sinx, -sin(0) = 0
(sinx)''' = -cosx, -cos(0) = -1

atd.

Ve Vámi uvedeném odkazu http://sk.wikipedia.org/wiki/Taylorov_rad je na začátku uveden vzorec Taylorova rozvoje pro funkci f(x):

$f(x)=\sum_{0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!}$

Zvolili jsme a = 0, takže
$f(x)=\sum_{0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}$

a po dosazení za derivace v bodě 0 dostaneme:

$sinx = \frac{sin0}{0!}x^0+\frac{cos(0)}{1!}x^1+\frac{-sin0}{2!}x^2+\frac{-cos0 }{3!}x^3+ \cdots$

$sinx = \frac{0}{0!}+\frac{1}{1!}x^1+\frac{0}{2!}x^2+\frac{- 1}{3!}x^3+ \cdots$

a po vynechání nulových členů:
$sinx = x- \frac{x^3}{3!}+ \cdots$

Makakpo · 02. 05. 2014 17:41

no dobre, dajme tomu a co keby som chcel urobit taylorov rad pre ine funkcie, napr. pre x^2 ? aky je postup?

Bati · 02. 05. 2014 17:48

↑ Makakpo:
Co kdyby ses konečně sám pokusil použít tu definici Taylorova polynomu? Možná bys přišel na to, že $(x^2)^{(k)}=0$ pro $k\geq3$ .

mates.dz · 02. 05. 2014 18:47

Urobis ten isty postup ale vsetko ti vide ze 0 okrem jednej ked to zderivujes dva razy ostane ti 2 a v rozvoji tocje 2x^2/2! co je x^2
Takze ti to moc nepomoze :-)

Makakpo

tak inu funkciu.. napriklad x^10 ? mohli by ste mi ukazat postup ako na to? tuto funkciu poslednu

mates.dz · 02. 05. 2014 19:32

To zaz bude x^10
:-)
Skus sindat nejaku inu funkciu

Jj · 02. 05. 2014 19:44

↑ mates.dz:

Nejjednodušší bude zadat funkci k rozvoji do MAW. Spočítá tabulku derivací a sestaví Taylorův rozvoj.

Makakpo

sak to treba iba derivovat dovtedy kym nebude derivacia rovna nule nie? tak v tom pripade:
$(x^10)=10x^9 , (10x^9)'=90x^8 , (90x^8)'=(720x^7)$ atd. az $3628800x , (3628800x)'=3628800 , (3628800)'=0$ a teraz co s tymi derivaciami? $(x^10)^{(k)}=0$ pro $k\geq11$ . ?? v bode 0 to vyndu same nuly okrem jedneho ako uz bolo poznamenane ale keby som chcel napr. v bode 1 ? alebo v bode 2 ?
v bode 1 by boly derivacie: $1,90,720,5040, ...$ takze taylorov rad by bol:
$\frac{1x^1}{1!}+\frac{90x^2}{2!}+\frac{720x^3}{3!}+...$ takto??

Jj · 02. 05. 2014 20:57 — Editoval Jj (02. 05. 2014 21:16)

↑ Makakpo:

Tak zrovna ne, v okolí bodu 1 by byl rozvoj

$1+\frac{10(x-1)^1}{1!}+\frac{90(x-1)^2}{2!}+\frac{720(x-1)^3}{3!}+...$

V tomto případě je a = 1 (ne 0!), viz vzorec tady: http://sk.wikipedia.org/wiki/Taylorov_rad

Ale rozvoj funkce x^10 nemá až tak velký smysl.

Zkuste si třeba rozvést funkci $y = e^x$ v okolí bodu 0.

Makakpo

aha no jasne, ja som este zabudol ze tam treba odpocitavat tu jednicku, uz chapem, ale nahodil som to do geogebry a graf je trosku divny, pozrite sa na to - http://www.fastimages.eu/images/taylorovra.png ma to byt takto? Tie ramena nie su uplne totozne ale mam pocit ze v bode 1 sa to rovna.

a funkcia $y=e^x$ ma derivaciu $e^x$ takze rad bude: $\frac{e^0 x^0}{0!}+\frac{e^0 x^1}{1!}+\frac{e^0 x^2}{2!}+\frac{e^0 x^3}{3!}+...$ ??

Jj · 02. 05. 2014 21:29

↑ Makakpo:

Ještě jsem ten rozvoj tady ↑ Jj: opravil (1. derivace v bodě 1 = 10 a 1. člen - funkční hodnota v bodě 1 tam chyběl, funkční hodnota = nultá derivace ve vzorci).

To Vám chybí i v rozvoji funkce e^x, první člen = $e^0 \cdot x^0 /0! = 1$ , takže rozvoj bude
(při vypuštění činitele e^0)

$1+ \frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{ x^3}{3!}+...$

K té geogebře - rozvoj funkce x^10 je v podstatě zbytečnost - sama funkce je jednodušší než rozvoj, a bez užití všech derivací pro rozvoj je výsledek jen přibližný.

Lépe si vyzkoušejte v geogebře např. grafy rozvoje sinu, exponenciály apod.

Makakpo

aha .. ok myslim ze uz tomu rozumiem, skusim cos(x) v bode 0
takze plati:
$(cos(x))'=-sin(x), (cos(x))''= -cos(x), (cos(x))'''=sin(x), (cos(x))''''=cos(x)$ ,

hodnoty budu:
$-sin(0)= 0, -cos(0)=-1, sin(0)=0, cos(0)=1$ ,

takze:
$\frac{-sin(x)x^0}{0!}+\frac{-cos(x)x^1}{1!}+\frac{sin(x)x^2}{2!}+\frac{cos(x)x^3}{3!}+...=-x+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}+...$ dobre to je?

Jj · 02. 05. 2014 21:56

↑ Makakpo:

Ještě ne:

1. V posledním řádku už nepište sin(x) ale sin(0) atd.
2. Pokud se na ten rozvoj podíváte, tak si všimněte, že Vám vyšel rozvoj funkce ( -sinx ), takže ne cosx!

Chybí tam zase 1. člen = cos0, a tím se Vám posunuly mocniny. Správně má být

$\frac{cos0 \cdot x^0}{0!} + \frac{-sin(0)x^1}{1!}+\frac{-cos(0)x^2}{2!}+\frac{sin(0)x^3}{3!}+\frac{cos(x)x^4}{4!}+ \cdots =x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

Makakpo · 02. 05. 2014 22:00

takze vlastne nezaciname prvou derivaciou ale tou funkciou, potom ide prva derivacia, potom druha atd. ?

Jj · 02. 05. 2014 22:08

↑ Makakpo:

Správně, berte funkci jako "nultou" derivaci ve vzorci pro rozvoj.

Makakpo · 02. 05. 2014 22:11

aha no jasne, chapem .. uz mi je to jasne, takze uz to chce len cvik a budem to vediet :) a takze ono sa to ma efekt hlavne pre goniometricke funkcie a ciklometricke a pre funkcie ktore su z polynomov ako napr. x^10 to nie je vyuzitelne ? a da sa to aplikovat aj na cisla? napr. keby som chcel nejake cislo rozpisat pomocou radu?

Jj · 02. 05. 2014 22:29

↑ Makakpo:

Rozvoj v mocninnou řadu je vlastně jistý způsob nahrazení funkce polynomem. Takže náhrada polynomu polynomem ?

Na čísle v tomto smyslu nic nerozvedete. Ale např. rozvoj

$arctg(x)= x-{{1}\over{3}}{}x^3+{{1}\over{5}}{}x^5- {{1}\over{7}}{}x^7+{{1}\over{9}}{}x^9-\cdots$

a protože $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$ můžete do řady dosadit x = 1 a spočítat přibližně číslo pí (ovšem tato řada konverguje pomalu, musel byste sčítat mnoho členů).

Makakpo · 02. 05. 2014 22:46

a napr. pre $sin(x)$ v bode 1 ?
ja to teraz odvodzuem ale nejako divne mi to vychadza ..

Makakpo

mne to vyslo priblizne: $0.0174+0.999(x-1)-\frac{0.0174(x-1)^2}{2!}-\frac{0.999(x-1)^3}{3!}+\frac{0.0174(x-1)^4}{4!}$ a to vychadza v bode 1 nejakych 0.005 kdezto sin(1)=0.8 cca tak kde mam zase chybu?

Matematické Fórum

#1 02. 05. 2014 15:27 — Editoval Makakpo (02. 05. 2014 15:36)

Taylorov rad sin(x)

#2 02. 05. 2014 15:44 — Editoval Bati (02. 05. 2014 15:47)

Re: Taylorov rad sin(x)

#3 02. 05. 2014 15:58

Re: Taylorov rad sin(x)

#4 02. 05. 2014 17:12

Re: Taylorov rad sin(x)

#5 02. 05. 2014 17:14

Re: Taylorov rad sin(x)

#6 02. 05. 2014 17:30 — Editoval Jj (02. 05. 2014 20:44)

Re: Taylorov rad sin(x)

Makakpo napsal(a):

#7 02. 05. 2014 17:41

Re: Taylorov rad sin(x)

#8 02. 05. 2014 17:48

Re: Taylorov rad sin(x)

#9 02. 05. 2014 18:47

Re: Taylorov rad sin(x)

#10 02. 05. 2014 19:27 — Editoval Makakpo (02. 05. 2014 19:28)

Re: Taylorov rad sin(x)

#11 02. 05. 2014 19:32

Re: Taylorov rad sin(x)

#12 02. 05. 2014 19:44

Re: Taylorov rad sin(x)

#13 02. 05. 2014 20:06 — Editoval Makakpo (02. 05. 2014 20:33)

Re: Taylorov rad sin(x)

#14 02. 05. 2014 20:57 — Editoval Jj (02. 05. 2014 21:16)

Re: Taylorov rad sin(x)

#15 02. 05. 2014 21:05 — Editoval Makakpo (02. 05. 2014 21:29)

Re: Taylorov rad sin(x)

#16 02. 05. 2014 21:29

Re: Taylorov rad sin(x)

#17 02. 05. 2014 21:42 — Editoval Makakpo (02. 05. 2014 21:42)

Re: Taylorov rad sin(x)

#18 02. 05. 2014 21:56

Re: Taylorov rad sin(x)

#19 02. 05. 2014 22:00

Re: Taylorov rad sin(x)

#20 02. 05. 2014 22:08

Re: Taylorov rad sin(x)

#21 02. 05. 2014 22:11

Re: Taylorov rad sin(x)

#22 02. 05. 2014 22:29

Re: Taylorov rad sin(x)

#23 02. 05. 2014 22:46

Re: Taylorov rad sin(x)

#24 02. 05. 2014 22:52 Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj. Důvod: nesmysl

#25 02. 05. 2014 23:01 — Editoval Makakpo (02. 05. 2014 23:05)

Re: Taylorov rad sin(x)

Zápatí