Matematické Fórum

herkuless · 02. 05. 2014 01:10

Dobrý den, chtěl bych se zeptat, zda někdo dokážete pomocí Langrageových rovnic II. druhu spočítat aspoň jeden z těchto příkladů? Trápím se s tím už hodně dlouho, ale bez úspěchu. :-(. Předem děkuji.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/85498_lang.jpg

Brzls · 02. 05. 2014 11:29

Zdravím

A v čem přesně je problém? Kde se zadrháváš??

1. Zvol souřadnice (u prvního klasicky kartézské u druhého uhel vychýlení)
2. Pomocí těchto souřadnic vyjádři potenciální energii
3. pohybovou energii
4. Urči Lagrangián (odečti od sebe energie)
5. Dosaď do L. rovnic II druhu
6. Vyřeš rovnice

Tak řekni až kam jsi se dostal, napiš průběžné výsledky a pak uvidíme co dál..

herkuless · 02. 05. 2014 14:52

Právě jsem se zasekl už u toho, jak správně vyjádřit potenciální a kinetickou energii.

Brzls · 02. 05. 2014 22:19 — Editoval Brzls (02. 05. 2014 23:14)

Ale no tak... vždyť u té jedničky nejde o nic jiného než vzorec co se učí na základce - V=mgh, akorát místo výšky h píšeš souřadnici y.

u tý dvojky je nejpohodlnější zvolit nulovou potenciální energii v bodě závěsu (resp zvolin počátek kartézských souřadnic v tomto bodě, vlastně přesně tak jak je to na obrázku) pak sice vychází záporně ale to přece nevadí no a pak jí akorát vyjádříš pomocí úhlu to by snad taky neměl být problém

herkuless · 03. 05. 2014 01:23

A jak víš že u té jedničky tam dosadit místo "h" pouze souřadnici "y"? Je to kvůli tomu, že síla "g" ukazuje směrem dolů, tudíž se ten hmotný bod může pohybovat pouze dolů, takže souřadnice "x" je nám k ničemu jo?
Kinetická energie Wk=0,5*m*v^2, tudíž co zde dosadíš místo rychlosti? Derivaci ym?

A u té dvojky to moc nechápu.

Brzls · 03. 05. 2014 13:54

NE UPLNĚ!!

Ano u té jedničky to vím kvůli tomu že g ukazuje dolů, tudíž jde o klasické homogenní pole a tudíž POTENCIÁLNÍ ENEGIE opravdu nezáleží na souřadnici x (jak říkám prostě to je to uplně nejjednodušší co se učí i na základce)

A vůbec celkově pročti si teorii

$T=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}m\cdot ((\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}+(\frac{dz}{dt})^{2})$

u jedničky ani u dvojky se souřadnice z nevyskytuje, tudíž jí v tom vzorci prostě nenapíšeš (neboť je konstantní a její derivace je nulová že). Jo a proč by měla být souřadnice x k ničemu? Copak ty se snad můžeš pohybovat jenom nahoru a dolů a ne do strany??

No a u tý dvojky nevim co nechápeš, prostě pomocí uhlu vychýlení fí vyjádříš souřadnici x a y, zderivuješ, dosadíš do vzorec pro kinetickou energii a potenciální energie je opět mgy...

Začni prostě tím že pomocí úhlu fí vyjádříš souřadnice x a ypsilon, pokud to neumíš tak si najdi na internetu jak sou definovány funkce sinus a cosinus

herkuless

Tak jen teda jestli jsem začal ten druhý příklad dobře:
Vyjádření kinetické je $W_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$
kde pro můj případ bude: $v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$
A mohly by být jednotlivé složky následovně ?
$x = l \cdot \sin \varphi$
$y = l - l \cdot \cos\varphi$

Tedy jejich derivace:
$v_{x}=l\cdot \frac{d\varphi }{dt}\cdot \cos \varphi$
$v_{y}=l\cdot \frac{d\varphi }{dt}\cdot \sin\varphi$

Tak nějak bych si to představoval ale nevím to jistě.

edit: oprava sin na cos u vyjádření y

Brzls · 03. 05. 2014 17:15

Možná ano, předpokládám že to je jenom překlep -

$y=l-l\cos \varphi$

Vede to na naprosto stejnou rovnici, ale i podle toho obrázku ti naznačují, že je lepší zvolit počátek souřadnic v bodě závěsu (tak jak sem ti psal já)
pak by bylo

$y=-l\cos \varphi$

Ale můžeš se sám přesvědčit, že když ro dosadíž Do Lagrangeových rovnic tak že dostaneš stejnou rovnici.

Píšeš že to nevíš jistě. V čem přesně je zádrhel, co přesně ti není jasné?

herkuless · 03. 05. 2014 18:37

Tady u té kinetické jsem si nebyl jistý těmi úhly (kde cos a kde sin).
Jinak při vyjádření potencionální energie druhého příkladu
$U=W_{p}=mgy$
bych viděl $y= -l \cdot \cos\varphi$ (vlastně jen dosazení y z kinetické)
$U=W_{p}=mg(-l \cdot \cos\varphi)$

Kdy se mi v potenciální energii objevuje složka x souřadnic? Při naklonění roviny třeba ?

Brzls · 03. 05. 2014 18:45

Čau
Ano teď to máš vyjádřené dobře.
Ne ani u nakloněné roviny ne, tam jde pořád jen o výšku.
Já nevím kolik už máte probráno jak celkově z mechaniky natož z Lagrangeova formalismu, ale to proč se vůbec něco jako LAgrangeovy rovnice používá je to, že jdou použít na libovolné pole s potenciálem.
Například oběh tělesa kolem slunce - potenciál závisí na vzdálenosti od slunce, když to napíšeš v kartézských souřadnicích, tak se ti tam objevuje i souřadnice x.

Jinak říkáš dosazení y z kinetické. To není že by si to tam dosazoval z kinetické, ten vztah mezi úhlem a y je daný a ten dosazuješ do obou energií, né že by si dosazoval z jedné energie do druhé, ale to už je takové slovíčkaření.
Prostě pokud se pohybuješ v homogenním tíhovém poli, tak potenciální energie opravdu na y nezáleží.

Teď když máš obě energie dokážeš tedy sestrojit pohybové rovnice?

herkuless

Takže mám energie následovně:
Pro první příklad:
$W_{k}=\frac{1}{2}m( v_{(x_m)}^{2} + v_{(y_m)}^{2})$
$W_{p}=mg\cdot y_{m}$

Pro druhý příklad:
$W_{k}=\frac{1}{2}m(l\cdot \frac{d\varphi }{dt}\cdot \sin\varphi +l\cdot \frac{d\varphi }{dt}\cdot \cos \varphi)^{2}$
$W_{p}=mg(-l \cdot \cos\varphi)$

Kde Langerovy funkce je
$L=W_{k}-W_{p}$
Pro první příklad:
$L=\frac{1}{2}m( v_{(x_m)}^{2} + v_{(y_m)}^{2})-mg\cdot y_{m}$

Pro druhý příklad:
$L=\frac{1}{2}m(l\cdot \frac{d\varphi }{dt}\cdot \sin\varphi +l\cdot \frac{d\varphi }{dt}\cdot \cos \varphi)^{2}-mg(-l \cdot \cos\varphi)$

Kde Langrangeova difernciání rovnice II. druhu je:
$\frac{d}{dt}(\frac{dL}{dq_{i}^{.}})-\frac{dL}{dq_{i}}=F_{i}$

A teda nevím co dosadit do te rovnice místo "q" v tom prvním příkladu, osobně si myslím že "y".
U druhé bych šel podle $\varphi$ , ale u první si nejsem vůbec jistý.

Brzls · 03. 05. 2014 20:26 — Editoval Brzls (03. 05. 2014 20:27)

Já osobně ti doporučuji pořádně ještě párkrát pročíst materiály.
Lagrangeovu rovnici máš špatně
vyjádření lagrangeovy funkce v tom druhym případě máš špatně
Přijde mi že pořádně nechápeš základní pojem "zobecněné souřadnice
a spoustu dalších věcí

Ten lagrangián má být

$L=\frac{1}{2}m((l\cdot \frac{d\varphi }{dt}\cdot \sin\varphi)^{2} +(l\cdot \frac{d\varphi }{dt}\cdot \cos \varphi)^{2})+mg(l \cdot \cos\varphi)$

a u toho prvního
$L=\frac{1}{2}m( v_{(x_m)}^{2} + v_{(y_m)}^{2})-mg\cdot y_{m}$

kde za rychlosti dosadíš derivaci x podle času nadruhou (vx) a derivaci y podle času nadruhou (vy)

Proč si nejsi jistý jestli to máš nebo nemáš derivovat podle toho úhlu???
u toho prvního místo q napřed y a potomx dostaneš dvě rovnice...

herkuless · 03. 05. 2014 22:03

Tak výsledek snahy -
První příklad:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/46914_priklad1.jpg

Druhý příklad:

Budu rád za jakokouliv námitku :)

Brzls · 03. 05. 2014 22:45 — Editoval Brzls (03. 05. 2014 22:46)

Tohle už vypadá skoro dobře.
Jednu věc máš u jedničky špatně a dvojky dobře což mě trošku mate.

Lagrangeova rovnice je
$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial q^{.}_{i}})-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=\textbf{0}$

Ty tam máš nějaký F ale to tam vůbec nemá co dělat.
Takže u tý jedničky místo F dej nulu. A není to moc čitelné mělo by tam být
m*y(dvakrát zderivované)-mg=0 (u tebe to vypadá jako plus)

A taky pozor, je rozdíl mezi
$\frac{d}{dx}$ a
$\frac{\partial }{\partial x}$
tak to nepleť dohromady (i když v tomto případě to zas tak nevadí, tak někde by ses mohl dostat do problémů)

Dále po tobě chtěj aby si u druhého příkladu rovnici zlinearizoval. S tím si víš rady??

herkuless

Díky za kontrolu. Tu linearizaci pro malé úhly si neumím nějak široce představit.
Vím že když je hodně malý úhel tak můžu místo $\sin \varphi$ napsat jen $\varphi$ .
Nevím jestli se to musí dále nějak upravovat, jen bych odebral funkce sin z pohybové rovnice a nahradil ji pouze $\varphi$ .

Můžu udělat to že dám výsledek z prvního příkladu do jedné rovnice? Sečetl bych strany rovnice ale nevím jestli je to povolená úprava.

Brzls · 03. 05. 2014 23:21

Ahoj

To s tím úhle to je pravda. Tím že sinus(fí) nahradíš pouze uhlem fí dostaneš lineární dif. rovnici, která se narozdíl od předchozí dá řešit analyticky.

Co se týče uprav, tak akorát na rozdíl od toho co máš na papíře vyděl celou rovnici hmotností a podobně (aby ti zmizeli veličiny na kterých nezáleží, jako je např. ta hmotnost)

To s tím sečtením
NE to teda nemůžeš. Můžu se jenom mimo téma zeptat do jakého ročníku chodíš? Zajímalo by mě totiž jestli jste už probírali řešení diferenciálních rovnic nebo ne.

herkuless

Chodim do prváku na výšce a o diferenciálních rovnicích jsem slyšel, jen jako z okna jedoucího vlaku, tudíž moc ne ;-).

A proč ty rovnice nemůžu dát do jedné, když se obě rovnají nule?
$m\cdot x^{..}=m\cdot y^{..}+m\cdot g$

a pak rovnici podělím m (jelikož počítám že hmotnost m>0) a zbyde mě:
$x^{..}= y^{..}+g$

Takže tato úprava není korektní?

Brzls · 04. 05. 2014 09:38 — Editoval Brzls (04. 05. 2014 09:39)

Tak to je tím pádem úplně nahlavu že po vás chtěj toto, nemáte téměř žádnou šanci to pochopit v plném rozsahu.

Ano ta rovnice je pravdivá, ale je naprosto k ničemu a nic neříkající.
Je to stejný jako klasické rovnice - když máš dvě neznámé (x,y) a jednu rovnici, zpravidla ti to je k ničemu.

Takže pokud po vás ty rovnice nechtějí řešit, tak je prostě napiš pod sebe a je to

Prostě máš jednu rovnici která ti udává závislost x-ové souřadnice na čase a druhou která ti udává závislost y-ové souřadnice na čase, když je sečteš dostaneš cosi co víceméně neříká nic

Matematické Fórum

#1 02. 05. 2014 01:10

Langrageovy rovnice II. druhu

#2 02. 05. 2014 11:29

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#3 02. 05. 2014 14:52

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#4 02. 05. 2014 22:19 — Editoval Brzls (02. 05. 2014 23:14)

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#5 03. 05. 2014 01:23

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#6 03. 05. 2014 13:54

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#7 03. 05. 2014 17:08 — Editoval herkuless (03. 05. 2014 17:18)

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#8 03. 05. 2014 17:15

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#9 03. 05. 2014 18:37

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#10 03. 05. 2014 18:45

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#11 03. 05. 2014 19:14 — Editoval herkuless (03. 05. 2014 19:41)

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#12 03. 05. 2014 20:26 — Editoval Brzls (03. 05. 2014 20:27)

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#13 03. 05. 2014 22:03

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#14 03. 05. 2014 22:45 — Editoval Brzls (03. 05. 2014 22:46)

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#15 03. 05. 2014 23:10 — Editoval herkuless (03. 05. 2014 23:14)

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#16 03. 05. 2014 23:21

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#17 03. 05. 2014 23:29 — Editoval herkuless (03. 05. 2014 23:37)

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

#18 04. 05. 2014 09:38 — Editoval Brzls (04. 05. 2014 09:39)

Re: Langrageovy rovnice II. druhu

Zápatí