Matematické Fórum

polinafedosova · 03. 05. 2014 23:11

Dobrý večer, potřebovala bych zkontrolovat můj postup, nejsem si jistá, zda jsem to opravdu dokázala.

Dokažte sporem, že kvadratická rovnice $ax^{2}+bx+c=o,$ , kde $a,b,c \in \mathbb{Z}, a\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ a $b$ je liché, nemůže mít dvojnásobný kořen.

Jelikož je to výrok v elementárním tvaru a mám to dokázat sporem, tak jsem vytvořila negaci:
Kvadratická rovnice $ax^{2}+bx+c=o,$ , kde $a,b,c \in \mathbb{Z}, a\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ a $b$ je liché, má dvojnásobný kořen.

b jsem vyjádřila jako $b=2k+1, k\in \mathbb{Z}$

Kvadratická rovnice má dvojnásobný kořen právě když Diskriminant je roven nule, v mém případě:
$D=(2k+1)^{2}-4ac =0$
$(2k+1)^{2}=4ac$
Jelikož a,c mohou bát záporná, tak nemůžu odmocňovat, tím pádem jediná varianta je, že $(2k+1)^{2}=0\wedge 4ac=0$
$a$ nemůže být nula, takže $c=0, a\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$
$(2k+1)^{2}=0$ pro $k=-\frac{1}{2}$ , ale $-\frac{1}{2}$ nepatří do $\mathbb{Z}$

Došla jsem k tomu, že negace výroku je nepravdivá, tím pádem výrok je pravdivý.

Mám to správně? Nejsem si jistá jestli jsem správně postupovala u toho Diskriminantu. Děkuji moc!

vanok · 03. 05. 2014 23:22

Ahoj ↑ polinafedosova:,

Prikladam mozne riesenie.
Predpokladajme ze rovnica ma dvojity koren, cize jej diskriminant D=0.
Ako si napisala
$b=2k+1, k\in \mathbb{Z}$
A potom diskriminant tvojej rovnice je
$D=(2k+1)^{2}-4ac =0$ ( nula, podla predpokladu)
Toto je nemozne, lebo na lavo mas neparne ( liche) cislo - parne(sude) cislo... A to da neparne ( liche) cislo.

No vsak 0 je parne (sude) cislo. Tak predpoklad ze D=0 je nemozny.

polinafedosova · 03. 05. 2014 23:52

↑ vanok: Jo tak, chápu to. Ale i tak, je, prosím, můj výpočet správný?

vanok · 04. 05. 2014 00:04

Vypocet tykajuci sa k je spravny, ak 2k+ 1=0, ale to nemoze sa stat, podla textu cvicenia,
Od tohto riadku
$(2k+1)^{2}=4ac$ , tvoja uvahy nie je dobra.

Ak si pochopila co som ti napisal , tak kludne to pouzi.
(poznamka: na strednej skole, take to dokazy su povazovane za velmi tazke)

polinafedosova · 04. 05. 2014 00:06

↑ vanok: Dobře, děkuji moc. Právě tento příklad mám jako přípravu k profilové maturitě z matematiky :)

vanok · 04. 05. 2014 00:15

↑ polinafedosova:,
Tak pracuj na tom vysvetleni, ze jeden clen je neparny ( lichy) a tak nemoze byt nula, lebo ta je parna suda.
Vela stastia...

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2014 23:11

Důkaz sporem

#2 03. 05. 2014 23:22

Re: Důkaz sporem

#3 03. 05. 2014 23:52

Re: Důkaz sporem

#4 04. 05. 2014 00:04

Re: Důkaz sporem

#5 04. 05. 2014 00:06

Re: Důkaz sporem

#6 04. 05. 2014 00:15

Re: Důkaz sporem

Zápatí