Matematické Fórum

stereo-total-music

Zdravím,
mám dost banální dotaz:

Mám funkci dvou proměnných (F)
$F(x,y)=x^{2}+y^{2}$

Proměnné (x, y) lze považovat za funkce, které zobrazují z R1 do R1. Funkce (F) má tedy význam složené funkce z funkcí (x, y), protože její funkční předpis lze vyjádřit pouze pomocí funkcí (x, y).
Opravdu nevím, kde dělám chybu, ale parciální derivace složené funkce (F) by měla vypadat
$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial x}=2x+2y \frac{\partial y}{\partial x}$

což se nerovná parciální derivaci složené funkce (F) s nulovou vnitřní funkcí:
$\frac{\partial F}{\partial x}=2x$
aspoň pro nějaké definované body z R2.

vanok · 27. 04. 2014 14:30

Ahoj ↑ stereo-total-music:,
Ty si zabudol, ze x, y na sebe nezavisle, preto
$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial x}=2x+2y \frac{\partial y}{\partial x}=2x+2y.0=2x$

stereo-total-music · 04. 05. 2014 12:48

↑ vanok:
Nechápu, proč:
$\frac{\partial y}{\partial x}=0$
i když to tak zřejmě musí být, když porovnám tu derivaci složené funkce.

Když mám bod v R3 a jeho plošné okolí, tak vidím, že význam mají všechny parciální derivace:

Přitom $\frac{\partial y}{\partial x}$ nemusí být nulová.

Bati · 04. 05. 2014 13:00 — Editoval Bati (04. 05. 2014 13:04)

↑ stereo-total-music:
V tomto případě musí.

Parciální derivace funkce podle $x_i$ je definována jako derivace ve směru $i$ -té souřadné osy. V kartézské soustavě zřejmě platí, že jakkoli velká změna ve směru nějaké osy je vzhledem k ostatním osám nulová, proto i příslušná derivace je nulová.

Edit: Sorry, že ti opět zasahuju do tématu, i když jsem slíbil, že už to neudělám. Zapomněl jsem, že to jsi ty, když jsem to psal.

stereo-total-music · 04. 05. 2014 13:04

Když uvažuji složené funkce $x$ a $y$ , tak chápu, že derivace $\frac{\partial y}{\partial x}$ nemá význam, protože funkce $y$ má jedinou nezávisle proměnnou $y$ . Ale nechápu, proč to, že derivace nemá význam, znamená nulovou derivaci.

Bati · 04. 05. 2014 13:09

↑ stereo-total-music:
Ty ale můžeš libovolnou konstantu chápat jako funkci libovloných proměnných, která na nich ovšem závisí triviálním způsobem, a to tak, že
$c(x_1,x_2,x_3)=c\quad\forall x_1,x_2,x_3$ . V tvém případě můžeš chápat $y$ jako funkci $x$ , přičemž $y(x)=y$ . Tedy ta derivace má význam a musí být nulová.

stereo-total-music · 04. 05. 2014 22:27

Já to bohužel pořád moc nechápu. Tohle je asi něco, u čeho jsem se úplně zasekl.

Z mého obrázku mi vyplývá, že $\frac{\partial y}{\partial x}$ nemusí být nulová. Nevím, jak to mám vyvrátit.

Potom moc nechápu větu:

V kartézské soustavě zřejmě platí, že jakkoli velká změna ve směru nějaké osy je vzhledem k ostatním osám nulová, proto i příslušná derivace je nulová.

U $\frac{\partial y}{\partial x}$ se pohybuji po ose $x$ a sleduji změnu na ose $y$ . Změna na ose $F(x,y)$ je nulová, tedy $\frac{\partial y}{\partial x}=0$ . To jsi myslel?
To se přece děje u všech parciálních derivací. U $\frac{\partial F}{\partial x}$ je nulová změna na ose $y$ , u $\frac{\partial F}{\partial y}$ je nulová změna na ose $x$ .

Všechny derivace funkcí dvou a více proměnných, kde nederivuji funkční hodnotu, jsou tedy nulové?

stereo-total-music

Uvědomil jsem si rozdíl mezi $\frac{\partial F}{\partial x}(v R^{3})$ a $\frac{\partial F}{\partial x}(v R^{2})$ .

Při derivaci $\frac{\partial F}{\partial x}(v R^{3})=2x$ se pohybuji po křivce rovnoběžně s osou $x$ , funkce $y(x)=y$ je tedy konstantní, derivace $y'(x)=0$ je tedy nulová.
Parciální derivace tedy mají význam derivací složených funkcí v R3 s konstantní závislostí proměnných $y(x)=y$ , $x(y)=x$ atd., tedy křivka je rovnoběžná s osou $x$ , $y$ atd.
Při derivování složených funkcí ve vyšších prostorech tedy jde o to vyjádřit derivace v $R^{2}$ , protože tam je pouze jediná "možnost" derivace.

A abych to opět svedl na někoho jiného než na mě (:)), tak mi nepřijde moc výstižné vyjádření:

Ty si zabudol, ze x, y na sebe nezavisle

Spíš bych řekl (jak už kolega uvedl výše), že (y) je závislé na (x), ale je to (v případě parciální derivace) konstantní funkce. (Ale tak jsi to možná myslel, já jenom jinak chápu závislost dvou proměnných).

Bati · 08. 05. 2014 16:41

Ahoj ↑ stereo-total-music:,
stručně:

Jestliže máme funkci např. 2 proměnných $f$ , pak výrok " $f(x,\cdot)$ je konstatní pro libovolné $x$ " znamená to samé, jako výrok " $f$ nezávisí na druhé proměnné". Proto vyjádření kolegy vanok je správné.

Rozdíl mezi prostory $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^3$ je v tomto směru nepodstatný.

Důkaz obrázkem není důkaz.

Tu větu, co nechápeš myslím takto: Nechť jsme kupříkladu v $\mathbb{R}^2$ a máme funkci $o_2(x,y):=y$ . Pak z definice parc. derivace a derivace ve směru máme
$\frac{\partial y}{\partial x}(\alpha,\beta) =\frac{\partial o_2(x,y)}{\partial (1,0)}(\alpha,\beta) =\lim_{h\to0}\frac{o_2((\alpha,\beta)+h(1,0))-o_2(\alpha,\beta)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{o_2(\alpha+h,\beta)-o_2(\alpha,\beta)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\beta-\beta}{h}=0$ .
Místo $y$ si tedy můžeme všude myslet funkci $o_2(x,y)$ . Lépe už to vysvětlit asi nedokážu.