Matematické Fórum

herkuless · 04. 05. 2014 17:31

Dobrý den, narazil jsem ve výpočtech pohybových rovnic na pružinu a nevím jak si ji správně matematicky představit. Mohli by jste mi poradit s vyjádřením kinetické energie ?

Zadání:
Odvoďte krok po kroku pohybovou rovnici pomocí Lagrangeových rovnic II. druhu pro uspořádání hmoty na pružině podle obrázku.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/17268_priklad3.jpg

ještě mám zadanou potenciální energii pružiny
$w_{p} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot \Delta x^{2}$
kde $\Delta x$ je rozdíl délky od uvolněného stavu
a $k$ je tuhost pružiny.

Uspořádaná hmota je v tomto případě jak koule vpravo tak vozík vlevo ?

Brzls · 04. 05. 2014 18:23

Co přesně myslíš "uspořádaná hmota"??

Zaprvé si uvědom, kolik má soustava stupňů volnosti (dva)

Obrázek ti naznačuje, ať za souřadnice zvolíš xM a xm.
Kinetická energie není nic jiného než součet kinetických energií obou těchto bodů (vozík a koule)

Potenciální energie je potom pouze potenciální energie té pružiny. Tu se ti podařilo vyjádřit pomocí xm a Xm?? (délku v nezatíženém stavu si označ jak chceš, na obrázku není)

herkuless · 04. 05. 2014 19:11

Pojem "uspořádaná hmota" je mi zcela neznámý. Předpokládám že to bude m(koule) a M(vozíku). Ale opět spíše typ, jsem v tomto zelenáč.

Potenciální energii obou těles bych viděl jako:
$U = m\cdot g$
protože nejsou nijak závislé na ose Y (pohyb jen v ose X).

a U pružiny mám zadané jako:
$U = \frac{1}{2} \cdot k \cdot \Delta x^{2}$
a to se mám pokusit vyjádřit pomocí $X_{m}$ a $X_{M}$ ?

Brzls · 04. 05. 2014 21:04

Ne ta potemciální energie je mg*0. To co píšeš by vedlo ke stejnému výsledku ale je to zbytečné.
Ano to se pokus vyjádřit pomocí Xm a XM jak jinak by si dohromady dal tu rovnici

Já ti to řikám po několikáté - prostuduj teorii jinak počítáš něco ani nevíš co

1. Zvolíš souřadnice (v našem případě Xm a XM, u kyvadla to bylo fí, u tělesa v homogenním poli to bylo x a y)
2. Pomocí nich vyjídříš pohybovou a potenciální energii
3. Dosadíš do L. rovnice

herkuless

Dokážu si vyjádřit kinetickou bez pružiny:
$T_{m}=\frac{1}{2}m\cdot x_{m}^{2}$
$T_{M}=\frac{1}{2}m\cdot x_{M}^{2}$

Vyjádření s pružinou bych viděl takto:
$x=x_{m}\cdot \sin (\omega t +\varphi )$

takže po dosazení do kinetické
$T_{m}=\frac{1}{2}m\cdot (\frac{d}{dt}(x_{m}\cdot \sin (\omega t +\varphi )))^{2}$
kde $\omega =\sqrt{k/m}$

To jsem posbíral nápady z materiálů co jsem našel různě na netu. Teorii ze školy k tomu nemám žádnou, do toho předmětu to normálně nepatří ale udělali zpestření.

Brzls · 05. 05. 2014 14:42

NE!.
To prvni je spravne nic dalsiho tam nedosazuj to je mimo postup co ksem psal.
Pokud by si tuto problematiku chtel pochopit lepe, tak ti muzu poslat celkem hromadu materialu k tomu. Podle me toto intuitivni hadani vysledku bez teorie ti nic neda.

herkuless · 05. 05. 2014 16:32

Takže kinetické energie budou jen:
$T_{M}=\frac{1}{2}m\cdot x_{M}^{2}$
$T_{m}=\frac{1}{2}m\cdot x_{m}^{2}$

A celá závislost na pružině se skryje do potenciální energie?
$U = \frac{1}{2} \cdot k \cdot \Delta x^{2}$
Pokud máš jakékoliv stručné, přehledné materiály, určitě je ocením.

Brzls · 05. 05. 2014 16:48

NO stručné to zrovna není ale materiály to jsou, ano je to tak jen ještě to delta vyjádři pomocí Xm a xm

herkuless

tak značí to rozdíl v natažení, jako základ mám
$U = \frac{1}{2} \cdot k \cdot (x_{m} - x_{M})^{2}$

Brzls · 07. 05. 2014 14:13

to by byla delka pruziny ne prodlouzeni zakombinuj do toho delku pruziny v nezatizenem stavi

herkuless · 08. 05. 2014 23:40

Tak když si definuju "l" jako delky pruziny v klidovem stavu, tak by to mohlo být:

$U = \frac{1}{2} \cdot k \cdot (x_{m} - x_{M}+l)^{2}$

Brzls · 09. 05. 2014 17:30

Nemohlo

Délka bez zátěže je l
Délka v libovolné konfiguraci xm-xM.
Jaké je tedy prodloužení?? (dávej si pozor na znaménka)

herkuless · 09. 05. 2014 20:08

Takže to musí být takto ne?

$U = \frac{1}{2} \cdot k \cdot (x_{m} - x_{M}-l)^{2}$

Brzls · 10. 05. 2014 12:35

↑ herkuless:

Ano to už je ono

herkuless · 10. 05. 2014 14:46

Tak jsem se to pokusil spočítat takto:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/25967_lang2.jpg

Brzls · 10. 05. 2014 15:29 — Editoval Brzls (10. 05. 2014 15:30)

Ne
Ty tam motáš l jakožto souřadnici (kterou sis zvolil) a l jako konstantu.

Mělo by to být takto

Souřadnice:
xM a xm

Rychlosti
$\frac{dx_{M}}{dt}$ , $\frac{dx_{m}}{dt}$

Energie kinetická
$T=\frac{1}{2}m(\frac{dx_{m}}{dt})^{2}+\frac{1}{2}M(\frac{dx_{M}}{dt})^{2}$

Potenciální Energie tak jak jsme jí napsali
A jelikož soustava má DVA stupně volnosti, tak musím ve výsledku dostat DVĚ rovnice!

První dostanu jakožto
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial (dx_{M}/dt)}-\frac{\partial L}{\partial x_{M}}=0$
a druhou
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial (dx_{m}/dt)}-\frac{\partial L}{\partial x_{m}}=0$

Tak to zkus ještě jednou

herkuless · 10. 05. 2014 15:53

Aha, já si právě myslel, že se ta pružina muže taky v zavislosti na čase měnit.
Tudíž toto by už mělo být správně doufám ;-).

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/29970_lang2.jpg

Brzls · 10. 05. 2014 16:33

Skoro, neumíš umocňovat na druhou. Tam kde máš v konečných rovnicích poloviny tak tam být nemají. Jinak je to sice jedno, ale umocňovat tu závorku nadruhou je nepřehledné, lepší je to derivovat jako složenou funkci ušetříš si tím čas

Rommik · 21. 05. 2014 22:15 — Editoval Rommik (21. 05. 2014 22:21)

A co ta sila f(t), která působí na vozík, ta se tam nezapočítává?

Brzls · 21. 05. 2014 22:28 — Editoval Brzls (21. 05. 2014 22:30)

↑ Rommik:

Z toho obrázku není jasné, co vůbec f(t) je, já si ani nevšim že tam něco takovýho je. Jinak jestli je to síla, tak ano, ta se tam nějak započítat musí.

Jenže pokud na to působí vnější síla, tak se nezachovává energie, tudíž Lagrangeovy rovnice v tom tvaru v jakém sme je používali nám sou k ničemu.
Možná by šlo vyjádřit disipační funkci a počítat s takto upravenou rovnicí, ale na to se kdyžtak kouknu zítra, a navíc mi to přijde celkem obtížné, na to že herkuless to má jen jako takovou zajímavost ke které prý nemají ani materiály.

Ale nevím jestli má cenu o tom polemizovat, pokud neznáme slovní zadání úlohy.

(jinak můj názor je, že úloha by se lépe řešila klasickým přístupem, nikoli pomocí lagrangianu, ale tak když to chtějí tak co se dá dělat)

Matematické Fórum

#1 04. 05. 2014 17:31

Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#2 04. 05. 2014 18:23

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#3 04. 05. 2014 19:11

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#4 04. 05. 2014 21:04

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#5 05. 05. 2014 00:21 — Editoval herkuless (05. 05. 2014 08:05)

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#6 05. 05. 2014 14:42

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#7 05. 05. 2014 16:32

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#8 05. 05. 2014 16:48

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#9 05. 05. 2014 19:41 — Editoval herkuless (05. 05. 2014 20:32)

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#10 07. 05. 2014 14:13

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#11 08. 05. 2014 23:40

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#12 09. 05. 2014 17:30

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#13 09. 05. 2014 20:08

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#14 10. 05. 2014 12:35

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#15 10. 05. 2014 14:46

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#16 10. 05. 2014 15:29 — Editoval Brzls (10. 05. 2014 15:30)

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#17 10. 05. 2014 15:53

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#18 10. 05. 2014 16:33

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#19 21. 05. 2014 22:15 — Editoval Rommik (21. 05. 2014 22:21)

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

#20 21. 05. 2014 22:28 — Editoval Brzls (21. 05. 2014 22:30)

Re: Langrageovy rovnice II. druhu ( těleso s pružinou)

Zápatí