Matematické Fórum

phil6 · 05. 05. 2014 23:11

Dobrý den,
potřebuji najít a nakreslit definiční obor funkce:
$f(x,y)=\sqrt{\frac{y\, \left(y^{2}-x\right)}{1-x^{2}-\frac{1}{4}\, y^{2}}}$

Vím, že musím vyřešit obě dvě podmínky a pak udělat jejich průnik, ale nevím jak na to když jsou tam dvě proměnné. Ve wolframu i MAW jsem to zkoušel, možná jsem i přišel na to, že ve jmenovateli je vzorec kružnice, ale jsem trochu ztracený.

Podmínky by měly být správné:
$-{{y^2}\over{4}}-x^2+1\neq 0$
${{y\,\left(y^2-x\right)}\over{-{{y^2}\over{4}}-x^2+1}}\geq 0$

Tu druhou podmínku dostanu maximálně do tvaru:
${{y\,\left(y^2-x\right)}\over{4x+y^2-4}}\leq 0$

a nevím jak dál.

Prosím o radu jak postupovat dál.

jelena · 06. 05. 2014 00:22

Zdravím,

ano, uvažuješ dobře. Zápis ${{y\,\left(y^2-x\right)}\over{4x+y^2-4}}\leq 0$ je nerovnice v podílovém tvaru, tedy bych doporučovala postupovat obdobně - tabulkovou metodou. Jediný rozdíl je, že pro jednu proměnnou vyznačujeme intervaly na ose x, pro dvě proměnné vyznačujeme oblasti v souřadnicovém systému xOy. Chce to potom použít barvy a pořádně si vyšrafovat.

Ve jmenovateli spíš vidím elipsu (souhlasí?). Obdobně zkus přistoupit i k zápisu $y^2-x=0$ jako omezující křivky - co to dává?

U vás na mathonline je celé téma se vzory def. oborů - našel jsi? Děkuji.

Eratosthenes

Zdravím ↑ phil6:

ve jmenovateli rozhodně nemáš kružnici, ale elipsu - viz i ↑ jelena:, (v té poslední nerovnosti zapomněls umocnit x). Dá se to i celkem slušně nakreslit - raději podle té předposlední nerovnosti. Lomený výraz je nezáporný, když jsou čitatel i jmenovatel současně buď kladní, nebo záporní, popř. čitatel roven nule. Rozeberme první případ. Jmenovatel bude kladný uvnitř elipsy, kterou určuje (stačí dosadit jeden bod zevnitř nebo zvenku, tady nejlépe [0;0]). Čitatel bude kladný, když y>0 a současně vně paraboly y^2=x (tj. tam, kde není ohnisko), anebo naopak y<0 a současně uvnitř paraboly. No a pak už stačí jen oba případy sjednotit. Podobně se vyřeší případ čitatel i jmenovatel záporný.

phil6 · 06. 05. 2014 17:27

Dekuji vam za rady.
Zkousel jsem ty pripady s kladnym citatelem a jmenovatelem a naopak (vykreslene pres wolframalpha).

Delam to nejak spatne. Kdyz ale udelam sjednoceni 1. a 2. tak mi vyjde presny opak spravneho vysledku.

Mozna by mi to doslo, kdybych to videl vypocitane, ale chapu, ze se s tim celym nikdo nechce zabyvat.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/89987_debilnipriklad.jpg

byk7 · 06. 05. 2014 18:04 — Editoval byk7 (06. 05. 2014 18:04)

zkus místo nerovnice
$-{{y^2}\over{4}}-x^2+1\ge0$
použít
${{y^2}\over{4}}+x^2-1\le0$
která dvojice $[x,y]$ vyhovuje?
z vnitřní nebo vnější oblasti (včetně hranice)? :-)

phil6 · 06. 05. 2014 23:55

↑ Eratosthenes:

Cituji: "Čitatel bude kladný, když y>0 a současně vně paraboly y^2=x (tj. tam, kde není ohnisko), anebo naopak y<0 a současně uvnitř paraboly".

Jenom potrebuji objasnit, proc ma byt vne nebo vevnitr paraboly prosim.

Eratosthenes · 07. 05. 2014 00:19

ahoj ↑ phil6:,

parabola rozděluje rovinu na dvě části. V jedné z nich je výraz y^2-x kladný, ve druhé záporný. Takže stačí vzít jeden bod mimo parabolu a zjistit znaménko. Totéž znaménko pak mají všechny body z téže části roviny, z té druhé části pak znaménko opačné.

phil6 · 07. 05. 2014 00:21

Super, dekuji mockrat za pomoc.

Matematické Fórum

#1 05. 05. 2014 23:11

Definiční obor funkce dvou proměnných

#2 06. 05. 2014 00:22

Re: Definiční obor funkce dvou proměnných

#3 06. 05. 2014 00:47 — Editoval Eratosthenes (06. 05. 2014 00:53)

Re: Definiční obor funkce dvou proměnných

#4 06. 05. 2014 17:27

Re: Definiční obor funkce dvou proměnných

#5 06. 05. 2014 18:04 — Editoval byk7 (06. 05. 2014 18:04)

Re: Definiční obor funkce dvou proměnných

#6 06. 05. 2014 21:02 Příspěvek uživatele phil6 byl skryt uživatelem phil6.

#7 06. 05. 2014 21:13 Příspěvek uživatele phil6 byl skryt uživatelem phil6.

#8 06. 05. 2014 23:55

Re: Definiční obor funkce dvou proměnných

#9 07. 05. 2014 00:19

Re: Definiční obor funkce dvou proměnných

#10 07. 05. 2014 00:21

Re: Definiční obor funkce dvou proměnných

Zápatí