Matematické Fórum

Lentilka7 · 07. 05. 2014 15:50

Ahoj,
nevím si rady s důkazy. Pomůžete mi prosím?
Dokažte, že platí:
a) $\sqrt{10-\sqrt{11}} < \sqrt{10+\sqrt{11}}+1$
b) 1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n!=(n+1)!-1

Moc děkuju za pomoc. :) :)

Crashatorr · 07. 05. 2014 15:52

↑ Lentilka7:
Ahoj,
To áčko dokazuj normálně přímým důkazem a béčko nejlépe matematickou indukcí:)

Lentilka7 · 07. 05. 2014 16:19

Děkuju. :)

Takže a) $\sqrt{10-\sqrt{11}}<\sqrt{10+\sqrt{11}}+1$
$\sqrt{10-\sqrt{11}}-\sqrt{10+\sqrt{11}}<1$
$10-\sqrt{11}-2*\sqrt{10-\sqrt{11}}*\sqrt{10+\sqrt{11}}+10+\sqrt{11}<1$
$20-2*\sqrt{(10-\sqrt{11})*(10+\sqrt{11})}<1$
$19<2*\sqrt{100-11}$
$361<356$

Takže výrok neplatí??

Crashatorr · 07. 05. 2014 16:23

↑ Lentilka7:
Proč jsi přesunula tu odmocninu na druhou stranu? Umocnit můžeš pokud víš že obě strany jsou kladné což bylo v tvém zadání splněno. Navíc ta odmocnina s - je určitě menší než ta s + takže jsi potom umocňovala záporné číslo, což se promítlo ve výsledku. Začni znova, akorát to umocni tak jak to je v zadání, mimojiné je to taky jednodušší:)

Lentilka7 · 07. 05. 2014 16:35

Jé moc děkuju. :) :)

Takže snad to je už správně:

$\sqrt{10-\sqrt{11}}<\sqrt{10+\sqrt{11}}+1$
$\sqrt{10-\sqrt{11}}-\sqrt{10+\sqrt{11}}<1$
$10-\sqrt{11}-2*\sqrt{10-\sqrt{11}}*\sqrt{10+\sqrt{11}}+10+\sqrt{11}<1$
$20-2*\sqrt{(10-\sqrt{11})*(10+\sqrt{11})}<1$
$-2*\sqrt{100-11}<-19$
356<361

Crashatorr · 07. 05. 2014 16:43

↑ Lentilka7:
Asi jsme si úplně nrozuměli. Umocni hned v prvním kroku, protože už ve druhém máš na levé straně nerovnice záporné číslo:)

Freedy · 07. 05. 2014 16:51

↑ Lentilka7:
Pokud chceš umocňovat nerovnosti a zachovat její nerovnost, musíš si být jistá že na obou stranách rovnice je kladné číslo.
Ty máš na obou stranách kladné číslo, jenže pokud přesuneš odmocninu doleva a až poté umocníš, tak se může stát například toto:
$\sqrt{4}<\sqrt{9}+1$ >> pravdivý výrok
přesuneš odmocninu nalevo:
$\sqrt{4}-\sqrt{9}<1$ pravdivý výrok
Umocníš:
$4-2\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}+9<1$
a po úpravách zjistíš že:
$4-12+9<1$
$1<1$
to už pravdivý výrok není. Proto musíš mít zajištěné obě strany nerovnice kladné

Lentilka7 · 07. 05. 2014 17:15

Děkuji za rady. Ale myslím, že to stále nechápu.

$\sqrt{10-\sqrt{11}}<\sqrt{10+\sqrt{11}}+1$
$10-\sqrt{11}<10+\sqrt{11}+2*\sqrt{10+\sqrt{11}}+1$

Bylo to myšleno takto? Jestli ano, tak nevím jak se pak zbavím té odmocniny.

Děkuju za pomoc. :)

gadgetka · 07. 05. 2014 17:19

Ahoj, podobný příklad i s celým řešením...

Lentilka7 · 07. 05. 2014 17:30

Ahoj, tímto způsobem jsem to řešila, ale nevychází mi to.

BakyX · 07. 05. 2014 19:08

Nie je potreba nič umocňovať, stačí na to pozrieť.

$-\sqrt{11} < \sqrt{11}$

$10-\sqrt{11} < 10+\sqrt{11}$

$\sqrt{10-\sqrt{11}} < \sqrt{10+\sqrt{11}}$

Nakoľko

$\sqrt{10+\sqrt{11}} < \sqrt{10+\sqrt{11}} +1$

tak aj

$\sqrt{10-\sqrt{11}} < \sqrt{10+\sqrt{11}} +1$

byk7 · 07. 05. 2014 19:08

Ja bych to řešil takto
$-\sqrt{11}&<\sqrt{11} \\ 10-\sqrt{11}&<10+\sqrt{11} \\ \sqrt{10-\sqrt{11}}&<\sqrt{10+\sqrt{11}} \\ \sqrt{10-\sqrt{11}}&<\sqrt{10+\sqrt{11}}<\sqrt{10+\sqrt{11}}+1$

Matematické Fórum

#1 07. 05. 2014 15:50

důkazy

#2 07. 05. 2014 15:52

Re: důkazy

#3 07. 05. 2014 16:19

Re: důkazy

#4 07. 05. 2014 16:23

Re: důkazy

#5 07. 05. 2014 16:35

Re: důkazy

#6 07. 05. 2014 16:43

Re: důkazy

#7 07. 05. 2014 16:51

Re: důkazy

#8 07. 05. 2014 17:15

Re: důkazy

#9 07. 05. 2014 17:19

Re: důkazy

#10 07. 05. 2014 17:30

Re: důkazy

#11 07. 05. 2014 19:08

Re: důkazy

#12 07. 05. 2014 19:08

Re: důkazy

Zápatí