Matematické Fórum

polinafedosova · 07. 05. 2014 18:20

Dobrý den,
mám tady příklad:
Najděte a v Gaussově rovině zakreslete všechna komplexní čísla z, jejichž čtvrtá mocnina je je rovna 16i.

Předpokládám, že se to má řešit binomickou rovnicí, ale nevím jak na to.
Moc děkuji za pomoc!

Eratosthenes · 07. 05. 2014 19:22

ahoj ↑ polinafedosova:,

binomická rovnice je zbytečná - hledáš čtvrtou odmocninu z čísla 16i. Takže nejlépe

1) Číslo 16i převeď na goniometrický tvar (umíš?)
2) Na čtvrtou odmocninu použij Moiverovu větu (znáš?)
3) Tato odmocnina bude mít čtyři hodnoty, které v Gaussově rovině tvoří vrcholy čtverce

polinafedosova · 07. 05. 2014 20:05

↑ Eratosthenes:
Dobrý den,

tak převod na goniometrický tvar:
$16(cos\frac{\prod_{}^{}}{2}+isin\frac{\prod_{}^{}}{2})$ ,

a použití Moiverové věty:
$z^{n}=|z|^{n}(cos(n\varphi) +isin(n\varphi)) = 16^{4}(cos(4\frac{\prod_{}^{}}{2}) +isin(4\frac{\prod_{}^{}}{2} )$

Takhle? nebo za n mám dosazovat 0,1,2,3?

polinafedosova · 07. 05. 2014 20:33

↑ mates.dz: omlouvám se, ale tohle mi absolutně nic neříká, nic podobného jsme ve škole nedělali :/

zdenek1 · 07. 05. 2014 23:24

↑ polinafedosova:
$z^{n}=|z|^{n}(cos(n\varphi) +isin(n\varphi)) = 16^{4}(cos(4\frac{\prod_{}^{}}{2}) +isin(4\frac{\prod_{}^{}}{2} )$

jenže ty nemáš počítat 4. mocninu, ale 4. odmocninu.
Měla jsi zůstat u té binomické rovnice.
Ale když už to chceš dělat takto, musíš počítat
$16^{\frac14}(\cos(\frac14\frac{\pi}{2}) +i\sin(\frac14\frac{\pi}{2} )$
dostaneš jednu hodnotu a zbylé přes ten čtverec

Matematické Fórum

#1 07. 05. 2014 18:20

Komplexní čísla, Gaussova rovina

#2 07. 05. 2014 19:22

Re: Komplexní čísla, Gaussova rovina

#3 07. 05. 2014 19:23 — Editoval mates.dz (07. 05. 2014 19:32) Příspěvek uživatele mates.dz byl skryt uživatelem byk7. Důvod: celá řešení iž nedáváme

#4 07. 05. 2014 20:05

Re: Komplexní čísla, Gaussova rovina

#5 07. 05. 2014 20:33

Re: Komplexní čísla, Gaussova rovina

#6 07. 05. 2014 23:24

Re: Komplexní čísla, Gaussova rovina

Zápatí