Matematické Fórum

hans66 · 04. 05. 2014 21:15 — Editoval hans66 (04. 05. 2014 21:15)

Ahoj, chtěl bych Vás požádat jak spočítat tento typ příkladu.

Integrujte funkci $f(x,y)=y+\frac{1}{(1-6x+2y)^{3}}$ pres oblast ohranicenou trojuhelnikem s vrcholy:

$[0,0],[-1,3],[-4,0]$

Děkuji za rady :-)

Rumburak

Ahoj.
Základní krok: popiš ten trojúhelník analyticky , tj. pomocí soustavy nerovnic s proměnnými $x, y$ , kde $[x, y]$ je
obecný bod onoho trojúhelníka.

hans66 · 05. 05. 2014 15:11

↑ Rumburak: můžete mi to prosím přiblížit? moc to nechápu

Rumburak

↑ hans66:

Pomůže náčtrtek. Položíme-li $A=[-4, 0], B=[0, 0], C=[-1, 3]$ a označíme-li souřadnicové osy obvyklým způsobem,
vidíme, že

- úsečka $AB$ leží na ose $x$ ,
- bod $C$ leží nad osou $x$ a jeho kolmý průmět na tuto osu (což je bod [-1, 0]) leží unvitř úsečky $AB$ .

Bod $X=[x, y]$ patří do oblasti ohraničené lomenou čarou $ABCA$ právě tehdy, když

$y \in (0, 3)$ a zároveň $X$ leží uvnitř dutého úhlu $\angle BCA$ .

Jak analyticky vyjádřit, že bod $X[x, y]$ leží uvnitř tohoto konkretního dutého úhlu $\angle BCA$ ?

hans66 · 06. 05. 2014 21:17

↑ Rumburak: tak jsem si udelal nacrtek a stale to nechapu, už si připadam marnej :-(

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/03840_TROJ.jpg

Rumburak · 07. 05. 2014 09:40

Bod $X[x, y]$ bude ležet uvnitř dutého úhlu $\angle BCA$ právě tehdy, když rovnoběžka s osou $x$ vedená bodem $X$
protne polopřímky $CA , CB$ v jistých bodech $M, N$ , příi čemž $X$ bude vnitřním bodem úsečky $MN$ .

Zkus to vyjádřit analyticky. Začal bych parametrickým vyjádřením těch polopřímek.

hans66 · 07. 05. 2014 21:47

↑ Rumburak:

$CA:$
$u=CA=A-C=(-5;-3)$
$x=1-5t$
$y=3-3t$

$CB:$
$u=CB=B-C$
$u=CB=B-C=(-1;-3)$
$x=1-t$
$y=3-3t$

A jestli ani ne takhle, tak uz opravdu nevim jak :-(

Rumburak

↑ hans66:

V principu tak nějak, ale Tvůj výpočet není v souladu s původním zadáním

$A=[-4, 0], B=[0, 0], C=[-1, 3]$ ,

podle něhož by mělo být např.

$A-C= [-4, 0] - [-1, 3] = (-3;-3)$ ,

takže obecným bodem přímky $CA$ bude bod

$M_t = C + t(A-C) = [-1, 3] + t (-3;-3) = [-1 - 3t , 3 - 3t]$ ,

tedy $x = -1 - 3t , y = 3 - 3t$ .

Obdobně asi bude nutno přepočítat obecný bod $N_s$ přímky $CB$ .

K dalšímu postupu: dvojice bodů $M_t , N_s$ volíme tak, aby měly tutéž $y$ -ovou souřadnici menší než $3$ ) .
Odtud vyjde podmínka na jejích $x$ -ové souřadnice. Tím bude popsán vnitřek dutého úhelu $\angle BCA$ .
Přidáním podmínky $y > 0$ dostaneme anylytický popis té integrační oblasti.