Matematické Fórum

anithianis

Přeji příjemný sváteční den,

vyšetřuji průběh složené funkce $f: y=\ln (\cos x)$

Prozatím jsem zjistila následující:

1. Definiční obor

$D(f) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi }{2})$

Funkce je sudá.

$f(x) = f(-x)$

Funkce není lichá.

Funkce je periodická.

$(-\frac{\pi}{2}+2k\pi , \frac{\pi }{2}+2k\pi ), k \in \mathbb{Z}$

Rostoucí na intervech:

$(-\frac{\pi}{2}+2k\pi , 0+2k\pi\rangle, k \in \mathbb{Z}$

Klesající na intervalech:

$\langle0+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi ), k \in \mathbb{Z}$

2. Jednostranné limity v bodech nespojitosti

$\lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+} \ln (\cos x) = -\infty$

$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-} \ln (\cos x) = -\infty$

3. Průsečíky s osou x a y

Průsečíky s osou x se nachází v bodě 0 a v každém dalším intervalu o násobku $\pi$ .

Průsečík s osou y se nachází v bodě $x = 0$

4. První derivace, její definiční obor, stacionární body (znaménko derivace)

$f'(x) = \frac{1}{\cos (x)}\cdot -\sin (x) = -\text{tg}(x)$

$D(f') = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi }{2})$

Porovnáme-li první derivaci s nulou, nalezneme stacionární bod 0.

$-\text{tg}(x) = 0$

5. Monotonie a lokální extrémy

V intervalu $(-\frac{\pi}{2},0)$ nabývá první derivace kladných hodnot (funkce je zde rostoucí).

V intervalu $(0,\frac{\pi}{2})$ nabývá první derivaci záporných hodnot (funkce je zde klesající).

V bodě 0 se nachází lokální maximum.

*Prosím o radu, jak dopočítat y souřadnici stacionárního bodu (tuším, že bude v bodě 0).

6. Druhá derivace, její definiční obor a znaménko

$f''(x) = (-\text{tg} x)' = -\frac{1}{\cos ^2x}$

*Zde jsem prozatím skončila. Prosím o pomoc, jak postupovat dále a příp. o opravu.

- editace bodu 3. (oprava popisu průsečíků s osou x)
- editace bodu 4. (odebrání zodpovězeného dotazu)
- editace bodu 6. (oprava výsledku druhé derivace)

Eratosthenes · 08. 05. 2014 18:55

ahoj ↑ anithianis:,

a co takhle hodnota $\ln $\cos 2\pi$$ ? Ta by se asi dala najít taky, ne? Takže definiční obor asi v pořádku nebude...

anithianis · 08. 05. 2014 20:26

↑ Eratosthenes:

Děkuji za upozornění.

Opravuji tedy definiční obory:

ad 1. Definiční obor

$D(f) = (-\frac{\pi}{2}+2k\pi , \frac{\pi }{2}+2k\pi ), k \in \mathbb{Z}$

ad 4. První derivace, její definiční obor, stacionární body (znaménko derivace)

$D(f') = (-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi }{2}+2k\pi), k \in \mathbb{Z}$

Stacionární body se nacházejí v 0, ale také v každé periodě, tedy $x = 2k\pi , k \in \mathbb{Z}$ .

Souřadnici stacionárního bodu dopočítám dosazením do původní funkce, tedy:

$\cos 2k\pi = 1$ , kde $k \in \mathbb{Z}$
$\ln1=0$
$y=0$

Eratosthenes · 08. 05. 2014 20:52

↑ anithianis:

no a to je skoro všechno. Druhá derivace je všude záporná => funkce je všude konkávní a stac. body 1. derivace jsou maxima. Ještě je třeba zjistit, zda na hranicích definičního oboru nejsou svislé asymptoty (řekl bych, že ano).

anithianis · 08. 05. 2014 22:08

↑ Eratosthenes:

Výborně. Pro úplnost tedy doplním, co jsem vyšetřila.

ad 6. Druhá derivace, její definiční obor a znaménko

$D(f'') = (-\frac{\pi}{2} <x-2k\pi < \frac{\pi }{2}), k \in \mathbb{Z}$

Znaménko druhé derivace je, jak bylo řečeno vždy mínus.

Dosazením stacionárních bodů z 1. derivace, získáme hodnotu, které dosahuje 2. derivace v lokálním maximu.

$- \frac{1}{\cos ^22k\pi } = -1, k \in \mathbb{Z}$

Funkce je na definičním oboru vždy konkávní, což implikuje neexistenci inflexních bodů.

8. Asymptoty

a) svislé

$x_1 = -\frac{\pi}{2}$

$x_2 = \frac{\pi}{2}$

$\lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^+} \ln (\cos x) = -\infty$

$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-} \ln (\cos x) = -\infty$

Pokud jsem správně pochopila, existuje svislá asymptota mezi každou periodou.

b) šikmé asymptoty neexistují, jelikož je funkce periodická a jde do nekonečna

Prosím o opravení, pokud jsem něco nevyjádřila jasně.