Matematické Fórum

arcuk · 10. 02. 2009 12:18 — Editoval arcuk (13. 03. 2009 19:20)

Uz chapu dik

musixx · 10. 02. 2009 12:30

↑ arcuk: Rekneme, ze Petr dostal p korun, Karek k korun a Zdenek z korun. Misto 1:2 budu psat zlomek. Takze napsane informace nam davaji tyto tri rovnice pro tri nezname:
$\frac pk=\frac7{11}\nlz=k+52\nl\frac{p-16}z=\frac12$ .
Dokazes z toho spocitat nezname?

O.o · 10. 02. 2009 13:22 — Editoval O.o (10. 02. 2009 13:24)

↑ arcuk:

musixx ti to pěkně napsal, stačí, když vezmeš prostřední rovnici a dosadíš ji do třetí rovnice, tím dostaneš dvě rovnice pro dvě neznámé, ty už vklidu dořešíš a pak dosadíš zpět do prostřední, abys získal všechny informace.

$\frac{p}{k}=\frac{7}{11} \nl \frac{p-16}{k+52}=\frac{1}{2}$

Pro získání "z" po dořešení soustavy dosaď "k" sem: $z=k+52$

musixx · 10. 02. 2009 13:27

↑ arcuk: Metod je nespocet. Nektere pracnejsi, nektere min (jen s ohledem na technickou narocnost vypoctu). Najit neco snadneho, to chce asi trochu zkusenosti, ktere urcite casem nabudes. Ja bych to udelal treba takto (ocislujme puvodni rovnice jako prvni, druha a treti):

Druhou rovnici dosadim do prvni a dostanu
$\frac p{z-52}=\frac7{11}$ , tedy $p=\frac7{11}(z-52)$ .

Z treti rovnice mam $p-16=\frac12z$ a kdyz do toho dosadim prave spocitane pro $p$ , tak mam
$\frac7{11}(z-52)-16=\frac12z$ ,
odkud
$\left(\frac7{11}-\frac12\right)z=16+\frac{7\cdot52}{11}$ , tedy $z=360$ .

Z druhe rovnice mame $k=z-52=308$ a nakonec z prvni $p=\frac7{11}k=196$ .

O.o · 10. 02. 2009 22:25 — Editoval O.o (10. 02. 2009 22:27)

Podle je nejlehčí cesta dosazením, jak jsem již psal, proto v ní budu porkačovat .)

$\frac{p}{k}=\frac{7}{11} \ / \cdot 11k \nl \frac{p-16}{k+52}=\frac{1}{2} \ / \cdot 2(k+52) \nl$

$11p=7k \ / \cdot (-1) \nl 2p-32=k+52 \ / \cdot 7$

Vynásobil jsem pěkně rovnice a sčítám je, abych se zbavil neznámé k a zůstala mi jen neznámá p

$3p-7 \cdot 32=7 \cdot 52 \ \Rightarrow \ p=196 \nl$

Teď dosadím p=196

$11p=7k \ \Rightarrow \ k = \frac{11 \cdot 196}{7} = 308$

Nakonec dosadím do rovnice s neznámou z

$z=k+52 = 308+52 = 360$

Zkoušku jsem nedělal, ale bylo by lepší ji udělat, člověk se může lehce upsat ;).

Chrpa · 10. 02. 2009 22:42

↑ arcuk:
Máš sestavené rovnice:
1) $\frac pk=\frac{7}{11}$

2) $z-52=k$

3) $\frac{p-16}{z}=\frac 12$

Z rovnice 3) vyjádříme neznámou z
4) $2(p-16)=z\nlz=2p-32$

Rovnici 4) dosadíme do rovnice 2)
5) $2p-32-52=k\nlk=2p-84$

Neznámou k z rovnice 5) dosadíme do rovnice 1) a vypočítáme neznámou p
$\frac{p}{2p-84}=\frac{7}{11}\nl11p=14p-588\nl3p=588\nlp=196$
Teď už snadno dopočteme ostatní neznámé:
Neznámou k dopočítáme např. z rovnice 5)
$k=2p-84\nlk=2\cdot 196-84\nlk=308$

Neznámou z vypočítáme z rovnice 2)
$z-52=k\nlz-52=308\nlz=360$

$(p\,;\,k\,;\,z)=(196\,;\,308\,;\,360)$

Můžeš si udělat zkoušku.

gadgetka · 10. 02. 2009 22:56

musixx napsal(a):
↑ arcuk: Rekneme, ze Petr dostal p korun, Karek k korun a Zdenek z korun. Misto 1:2 budu psat zlomek. Takze napsane informace nam davaji tyto tri rovnice pro tri nezname:
$\frac pk=\frac7{11}\nlz=k+52\nl\frac{p-16}z=\frac12$ .
Dokazes z toho spocitat nezname?

Z druhé rovnice osamostatníš k: $k=z-52$ a dosadíš to do první rovnice
$\frac{p}{z-52}=\frac{7}{11}$ , osamostatníš z ní p:
$p=\frac{7}{11}*(z-52)$ a dosadíš to do třetí rovnice, kterou jde lehce upravit jako: $p-16=\frac{1}{2}*z$
$\frac{7}{11}*(z-52)-16=\frac{z}{2}$ , upravíš:
$\frac{7z-364}{11}=16+\frac{z}{2}$
$\frac{7z}{11}-\frac{z}{2}=16+\frac{364}{11}$ /*22
$14z-11z=352+728$
$3z=1080$
$z=360$

Dosadíme do rovnice: $p-16=\frac{1}{2}*z$ ==> $p=\frac{360}{2}+16=196$
Dosadíme do rovnice $\frac pk=\frac7{11}$ ==> $k=\frac{11*196}{7}=308$

Zk.: $\frac{p}{k}=\frac{196}{308}=\frac{28*7}{28*11}=\frac{7}{11}$ , poměr souhlasí
$k+52=z$ ==> $308+52=360$ souhlasí, Zdeněk dostal o 52 Kč víc než Karel
$p-16 = 196-16=180$ $\frac{180}{360}=\frac{1*180}{2*180}=\frac{1}{2}$ , poměr též souhlasí

jelena · 10. 02. 2009 23:26

Zdravím vás a jmenovíte kolegu Chrpu, který dosáhl Einsteina i v "domací variantě", ať se moc daří ve zdraví a v pohodě :-)

Trochu mám pocit, že pro ZŠ je to moc dramaticky, nemyslite :-)

x - dostal Karel,
(7/11)x - dostal Petr
x + 52 - dostal Zdeněk

Varianta "kdyby":

Petr dostal o 16 méně, tedy (7/11)x -16, pak by jeho podíl se Zdeňkem byl 1:2 (česky řečeno "Zdeněk má 2 krát více, než Petr"). Zde je rovnice:

$2(\frac{7}{11}x-16)=x+52$

$\frac{14}{11}x-32=x+52$ další úprava je pro případ, že třeba při testech SCIO není možné použit kalkulátor:

$14x-32\cdot11=11x+52\cdot11$

$3x=11(52+32)$

$3x=11\cdot84$

$x=11\cdot28$ - to je Karel, z toho se dá dobře počítat Petrova částka

Souhlasíte?

Ivana · 11. 02. 2009 06:44

↑ Chrpa:Zdravím, a blahopřeji i k druhému dosaženému Einsteinu. :-)

Cheop · 11. 02. 2009 07:09

↑ jelena: ↑ Ivana:

Děkuji Vám oběma. Budu se snažit si to ještě užít.
(Myslím tím svoje "relativní" zdraví).

arcuk · 11. 02. 2009 22:03 — Editoval arcuk (13. 03. 2009 19:23)

Uz dobry

Chrpa · 11. 02. 2009 22:18

↑ arcuk:
Označme
x - čočka
y - fazole
$\frac xy=\frac 23\nly=\frac{3x}{2}$
$\frac{x+2}{y}=\frac 32\nl\frac{x+2}{\frac{3x}{2}}=\frac 32\nl\frac{2x+4}{3x}=\frac 32\nl4x+8=9x\nl5x=8\nlx=\frac 85=1,6\,\textrm{kg}$
$y=\frac{3x}{2}\nly=\frac{3\cdot 8}{2\cdot 5}\nly=\frac{24}{10}=2,4\,\textrm{kg}$

Čočky bylo 1,6 kg a fazolí 2,4 kg

gadgetka · 11. 02. 2009 22:23

↑ Chrpa:

jj, souhlasím, jen té čočky bylo teda nakonec 3,6 kg, protože 2 kg jí macecha přidala.

gadgetka · 11. 02. 2009 22:31

arcuku, asi ti ty rovnice nic moc neřeknou, tak ti aspoň trochu nastíním, jak se na to přišlo:
před přidáním čočky byla její hmotnost rovna 2/3 hmotnosti fazolí, po přidání čočky byla její hmotnost rovna 3/2 hmotnosti fazole, tzn. že 2 kg čočky představují (3/2-2/3)=5/6 hmotnosti fazole, čili když 2 kg váží 5/6 fazole, 6/6 bude vážit 2*6/5=12/5=2,4 kg. Čočku už dopočítáš jen dosazením 2/3*2,4=1,6 kg = původní váha čočky nebo dosadíš do druhého poměru 3/2*2,4=3,6 kg a dostaneš rovnou váhu čočky po přisypání dvou kilogramů.

Chrpa · 11. 02. 2009 22:37

↑ gadgetka:
Jo jistě, já si pořádně nepřečetl, co po nás vlastně chtějí.

arcuk · 12. 02. 2009 11:30

Já to chapu počítal jsem to uplně stejně....
dík za kontrolu

Matematické Fórum

#1 10. 02. 2009 12:18 — Editoval arcuk (13. 03. 2009 19:20)

Pomoc slovní úloha poměry

#2 10. 02. 2009 12:30

Re: Pomoc slovní úloha poměry

#3 10. 02. 2009 13:22 — Editoval O.o (10. 02. 2009 13:24)

Re: Pomoc slovní úloha poměry

#4 10. 02. 2009 13:27

Re: Pomoc slovní úloha poměry

#5 10. 02. 2009 22:25 — Editoval O.o (10. 02. 2009 22:27)

Re: Pomoc slovní úloha poměry

#6 10. 02. 2009 22:42

Re: Pomoc slovní úloha poměry

#7 10. 02. 2009 22:56

Re: Pomoc slovní úloha poměry

musixx napsal(a):

#8 10. 02. 2009 23:26

Re: Pomoc slovní úloha poměry

#9 11. 02. 2009 06:44

Re: Pomoc slovní úloha poměry

#10 11. 02. 2009 07:09

Re: Pomoc slovní úloha poměry

#11 11. 02. 2009 22:03 — Editoval arcuk (13. 03. 2009 19:23)

Re: Pomoc slovní úloha poměry

#12 11. 02. 2009 22:18

Re: Pomoc slovní úloha poměry

#13 11. 02. 2009 22:23

Re: Pomoc slovní úloha poměry

#14 11. 02. 2009 22:31

Re: Pomoc slovní úloha poměry

#15 11. 02. 2009 22:37

Re: Pomoc slovní úloha poměry

#16 12. 02. 2009 11:30

Re: Pomoc slovní úloha poměry

Zápatí