Matematické Fórum

mulder · 09. 05. 2014 16:57

A tady s tímto příkladem jsem v koncích úplně. $\sqrt{1+y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\frac{dy}{dx}=0$ Nevím zda rovnici vynásobit na druhou abych se zbavil odmocnin, ale nevím co se stane s y´. Poradíte mi? Existuje ve wolframalfě nějaký výpočet správnosti?

Brzls · 09. 05. 2014 17:44

Zkus třeba substituci

$1+y^{2}=z^{2}$

Až ale potom budeš odmocňovat tak nezapomeň na obě možnosti (s plusem a mínusem), měli by ti vyjít dvě řešení (jedno kladné a druhé záporné na celém def. oboru)

mulder · 09. 05. 2014 17:47

↑ Brzls:Tohle mi moc nepomůže. Se substitucí jsem se nikdy nesetkal. Jak jsem studoval já, tak takové příklady jsme nepočítali. Teď to řeší kolega v práci, který se dal na studium. Chci mi trochu pomoci. Jestli to zkusíte vypočítat bod po bodu, budu velice rád.

Brzls · 09. 05. 2014 17:59

Je pěkné že chcete pomoci kolegovi, ale podle mě když někdo dostane od někoho jiného vypočítané příklady tak mu to moc nepomůže. Pokud kolega potřebuje pomoc tak proč sem nenapíše on?

Princip je takový že použijete tuto substituci, vyjádříte y pomocí z a zderivujete. Tím dostanete vztah mezi derivací y a derivací z. To všechno dosadíte do původní rovnice a při trošce štěstí dostanete nějakou lépe řešitelnou rovnici. Zkuste to takhle říci kolegovi a třeba ho to trkne.

Já osobně z principu celé řešení bez ochoty spolupráce dotazujícího psát odmítám, třeba se najde někdo komu se to nepříčí.

mulder · 09. 05. 2014 18:04

↑ Brzls:To chápu. Snažím se to vypočítat a poté ho to i učím, že mu to vykládám. Pokusím se to vypočítat, ale moc tomu nedávám

Brzls · 09. 05. 2014 18:17

Zkus postupovat podle tohoto návodu a řekni k čemu až si se dostal

1. Z mnou navrhované substituce vyjádři y
2. Derivuj obě strany tohoto vztahu. Tím dostaneš vyjádření derivace y pomocí z
3. Toto dosaď do původní rovnice, dostaneš rovnici ve které se bude vyskytovat pouze x a funkce z
4. Řeš tuto rovnici, po vyřešení dostaneš závislost z na x
5. Dosaď tuto závislost do původního vztahu mezi x a y, tím dostaneš závislost y na x, tedy řešení rovnice.

mulder · 09. 05. 2014 18:26

↑ Brzls:
1) y=z-1
2) y´=z´
3) Po dosazení do původní rovnice jsem dostal toto $\sqrt{z^{2}-z+2}+(z-1)\cdot \sqrt{1-x^{2}}z^{|}=0$ a tady jsem skončil

Takjo · 09. 05. 2014 18:30

↑ mulder:
Dobrý den,
jde o rovnici se separovatelnými proměnnými, takže úpravy:

$\sqrt{1+y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\frac{dy}{dx}=0$
$y\sqrt{1-x^{2}}\frac{dy}{dx}=-\sqrt{1+y^{2}}$
$\frac{y\cdot dy}{\sqrt{1+y^{2}}}=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$ atd... :)

mulder · 09. 05. 2014 18:32

↑ Takjo:Tohle mi moc neříká, nějaké separovatelné proměnné.

Takjo · 09. 05. 2014 18:46

↑ mulder:
Dobrý den,
takže ještě další krok:
$\frac{y\cdot dy}{\sqrt{1+y^{2}}}=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$\int_{}^{}\frac{y\cdot dy}{\sqrt{1+y^{2}}}=-\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$

A tohle už vám něco říká???

mulder · 09. 05. 2014 19:09

↑ Takjo:Ano. Po integraci jsem dospěl k výsledku $\sqrt{y^{2}+1}+K=-arcsinx+K$ A dál už nevím.

Brzls · 09. 05. 2014 19:25

Teď z toho vyjádříš to ypsilon.

(mimochodem ten postup co ti poradil Takjo se akorát liší v pořadí kroků i když to je o něco rychlejší)

mulder · 09. 05. 2014 19:34

↑ Brzls:Tak mi vyjde $y=\sqrt{arcsin^{2}x-1}$ a dál ani prd. To je na mě moc složité. K čemu toto je mi není jasné.

Brzls · 09. 05. 2014 19:38

Pozor vyjádřil si to špatně.
To co ti vyjde je řešení rovnice.
Pokud nevíš k čemu jsou dobré diferenciální rovnice, tak na diferenciálních rovnicích je založena víceméně celá fyzika tudíž jakýkoli technický obor

Takjo · 09. 05. 2014 19:41

↑ mulder:
Dobrý den,
dopracoval jste se k tomuto: $\sqrt{y^{2}+1}+K=-arcsinx+K$

což se dá zjednodušit: $\sqrt{y^{2}+1}=K-arcsinx$

Dále povýšit na druhou: $y^{2}+1=(K-arcsinx)^{2}$ a pokračujte... :)

mulder · 09. 05. 2014 19:41

$y=\sqrt{arcsin^{2}x-1}$ ↑ Brzls: $y=\sqrt{-arcsin^{2}x-1}$ Teď už by to mělo být správně a toto je jako výsledek ze zadání?

mulder · 09. 05. 2014 19:44

↑ Takjo:Jsem už asi mimo. Asi to vyjde $y=K-arcsinx-1$

Takjo · 09. 05. 2014 19:53

↑ mulder:
Dobrý den,
takže: $y^{2}+1=(K-arcsinx)^{2}$

$y^{2}=K^{2}-2Karcsinx+arcsin^{2}x-1$

Což se opět dá zjednodušit: $y^{2}=K_{1}-K_{2}\cdot arcsinx+arcsin^{2}x$ a dále odmocnit...

mulder · 09. 05. 2014 20:05

↑ Takjo:Už mi to asi nemyslí. To zjednodušení jsem trochu nepochopil. Když to odmocním, tak dostanu výraz na pravé straně pod odmocninu a to by měl být výsledek nebo se s tím ještě něco bude dělat?

Takjo · 09. 05. 2014 20:22

↑ mulder:
Výsledek: $y=\sqrt{K_{1}-K_{2}\cdot arcsinx+arcsin^{2}x}$

mulder · 09. 05. 2014 20:42

↑ Takjo:Děkuji za vyčerpávající odpověď a že jsem došel až tak daleko, ale to zjednodušení mi vrtá hlavou proč to tak je.

Takjo · 09. 05. 2014 21:15

↑ mulder:
Dobrý den,
protože když nějakou konstantu (např. K) povýšíte na druhou, nebo vynásobíte dvěmi, dostanete opět konstantu.
Jenom ji jinak pojmenujete.

Brzls · 10. 05. 2014 12:38

↑ Takjo:

Dobrý den

Podle mě byste jí ale v tomto případě neměl pojmenovávat jinak, a když jo tak někde stranou uvést vztah mezi K1 a K2, neboť když za K1 a K2 dosadím libovolné čísla, tak nedostanu řešení rovnice

Takjo · 10. 05. 2014 12:51

↑ Brzls:
Dobrý den,
OK, souhlasím.
Normálně konstanty jinak nepojmenovávám, vždy je to jenom nějaké K nebo C.

V tomto případě je to však nutné rozlišit, protože obě konstanty ve výsledku obecně nejsou totožné.

Jako třeba v odvození rovnice pro výpočet rychlosti nebo dráhy volného pádu, nebo jakéhokoliv zrychleného pohybu,
kde se vyskytuje např. $v_{0}$ nebo $s_{0}$ ...

Brzls · 10. 05. 2014 12:58 — Editoval Brzls (10. 05. 2014 13:00)

Ano K1 a K2 nejsou totožné, ale jsou spjaty vztahem K2=2*K1 tudíž označení K2 místo 2K1 je spíš naobtíž a pokud se neuvede ten vztah mezi nimi tak je to i chyba. Navíc je to dost nepraktické pro další případné výpočty (určování K1 z počáteční odmínky).

Navíc jak jsem řekl když K1 a K2 zvolíme libovolně (porušíme podmínku K2=2*K1) tak nedostaneme řešení rovnice takže nemůžu prostě jen tak 2K1 přejmenovat na K2, když mi tam pořád někde ještě zůstává K1

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2014 16:57

Diferenciální rovnice I.řádu

#2 09. 05. 2014 17:44

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#3 09. 05. 2014 17:47

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#4 09. 05. 2014 17:59

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#5 09. 05. 2014 18:04

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#6 09. 05. 2014 18:17

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#7 09. 05. 2014 18:26

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#8 09. 05. 2014 18:30

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#9 09. 05. 2014 18:32

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#10 09. 05. 2014 18:46

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#11 09. 05. 2014 19:09

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#12 09. 05. 2014 19:25

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#13 09. 05. 2014 19:34

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#14 09. 05. 2014 19:38

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#15 09. 05. 2014 19:41

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#16 09. 05. 2014 19:41

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#17 09. 05. 2014 19:44

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#18 09. 05. 2014 19:53

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#19 09. 05. 2014 20:05

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#20 09. 05. 2014 20:22

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#21 09. 05. 2014 20:42

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#22 09. 05. 2014 21:15

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#23 10. 05. 2014 12:38

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#24 10. 05. 2014 12:51

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#25 10. 05. 2014 12:58 — Editoval Brzls (10. 05. 2014 13:00)

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

Zápatí