Matematické Fórum

zuzik1 · 09. 05. 2014 21:46

Zdravím, potřebovala bych pomoci vypočítat limitu.
Zadání:
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{tg(x)}-e^x}{tg(x)-x}=\frac00$ Použila jsem l´Hopitalovo pravidlo, ale bohužel jsem se dostala k tomuto
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{tg(x)}-e^x}{tg(x)-x}=\frac00=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{e^{tg(x)}}{cos^2(x)}-e^x}{\frac{1}{cos^2(x)}-1}$
Ale opět jsem tam, kde před tím. Zkusila jsem udělat dalšího l´Hopitala, ale prostě to nikam nevede a už si nevím rady jak jinak na to jít. :-(

Děkuji za každou radu :-)

Bati · 09. 05. 2014 22:51

↑ zuzik1:
Ahoj,
umíš používat Taylorovy rozvoje? Jakmile dokážeš, že $e^{\text{tg}\,{x}}=1+x+\tfrac12x^2+\tfrac12x^3+o(x^3)$ pro $x\to0$ , je to skoro hotové.

SO(4) · 10. 05. 2014 00:24 — Editoval SO(4) (10. 05. 2014 00:25)

Ahoj, pokud nechceš použít Taylorův rozvoj, je tu i primitivější postup. 1) Čitatele i jmenovatele vyděl x^3 a počítej jejich limity zvlášť (podle věty o limitě podílu). 2) nejprv spočítej limitu pro jmenovatele, tzn. $\frac{\text{tg}(x)-x}{x^{3}}$ , třeba l'Hospitalovým pravidlem. 3) Z čitetele vytkneš e^x a zahodíš (podle věty o limitě součinu) a zbytek upravíš na $\frac{\mathrm{e}^{\text{tg}(x)-x}-1}{\text{tg}(x)-x}\frac{\text{tg}(x)-x}{x^{3}}$ . Pak už je to jasné.

Bati · 10. 05. 2014 00:34

↑ SO(4):
Takže vlastně stačí použít limitu $\lim_{y\to0}\frac{e^y-1}y$ a větu o limitě složené funkce, kde vnitřní funkce je $\text{tg}\,x-x$ , která splňuje v 0 podmínku "P".

zuzik1 · 10. 05. 2014 06:54

Děkuji za rady, ale vůbec nevím, co že bych to s tím měla provést. Ani o jednom způsobu jsem bohužel neslyšela.

Bati · 10. 05. 2014 10:15

↑ zuzik1:
Větu o limitě složené funkce bys znát měla, ne?
1) Vytkneš $e^x$ : $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\text{tg}\,x}-e^x}{\text{tg}\,x-x}=\lim_{x\to0}$e^x\cdot\frac{e^{\text{tg}\,x-x}-1}{\text{tg}\,x-x}$$
2) Ukážeš, že $g(x):=\text{tg}\,x-x\to0$ pro $x\to0$ a že existuje prstencové okolí nuly, ve kterém je $g$ nenulová.
3) Víme, že pro $f(y):=\frac{e^y-1}y$ je $\lim_{y\to0}f(y)=1$ .
4) Aplikuješ VOLSF na $\lim_{x\to0}f(g(x))$ ; předpoklady jsme ověřili v 2) a 3).
5) Použiješ větu o limitě součinu na $\lim_{x\to0}$e^x\cdot f(g(x))$$ .