Matematické Fórum

Sherlock

$\int_{}^{}\sqrt{1+\sin x}\cdot dx$

Substituce: $1+\sin x=u$
$x=\arcsin (u-1)$
$dx=\frac{1}{\sqrt{1-(u-1)^{2}}}du$
$dx=\frac{1}{\sqrt{2u-u^{2}}}du$
$dx=\frac{1}{\sqrt{u}\cdot \sqrt{2-u}}du$

vznikne $\int_{}^{}\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{u}\cdot \sqrt{2-u}}du=\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{2-u}}du$

$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{2-u}}du=-\frac{(2-u)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}=-2\sqrt{2-u}$

po návratu: $-2\sqrt{2-1-\sin x}=-2\sqrt{1-\sin x}+c$

Co je sakra špatně na tom postupu?

Hanis · 10. 05. 2014 00:51

Ahoj,

výsledek je správně, stačí zderivovat, stejně tak postup je ok...

SO(4) · 10. 05. 2014 00:51

Bych řek, že je to dobře. Stačí zderivovat výsledek a trochu poupravit. Jen by bylo dobré doplnit, kde je výsledek platný, zkontrolovat předpoklady věty o subtituci a spojitě rozšířit řešení na celé R.

Bati · 10. 05. 2014 01:14 — Editoval Bati (10. 05. 2014 01:16)

↑ Aktivní:
Funkce $\arcsin(u-1)$ je definovaná pouze v $[0,2]$ , dál musíš lepit.

↑ Hanis:↑ SO(4):
Správným řešením bych to rozhodně nenazval, vzhledem k tomu, že se to s ním shoduje z půlky.

Sherlock

No správně to nebude..

Vyšla primitivní funkce, která je na D(f) záporná, a přitom určuje plochu pod křivkou, která je nad osou x.. A s průběhem by měla primitivní funkce narůstat (narůstá i kladná plocha pův fce), jenže ona jenom osciluje..

Pův. funkce:

Její integrál:

Navíc když jsem chtěl spočítat její rozsah od $0$ do $\pi$ , vyšla nula, jelikož v obou těchto bodech má primitivní funkce stejnou hodnotu tak se to odečetlo :-/

↑ Bati:
Takže to bude tím že integrál je platný jenom od 0 do 2 ? Pořád mi to tam nesedí, proč v tom intervalu ta funkce záporná?

Bati · 10. 05. 2014 10:58 — Editoval Bati (10. 05. 2014 11:41)

↑ Aktivní:
Na $[0,2]$ pro proměnnou u. To znamená na $[-\tfrac{\pi}2,\tfrac{\pi}2]$ pro x. Vyřešíš tedy na každém intervalu tohodle typu, spočítáš limity v krajních bodech a slepíš.

Důležitý je si uvědomit, že inverzní funkce k sinu je $\arcsin$ pouze na intervalu $[-\tfrac{\pi}2,\tfrac{\pi}2]$ (tj. pouze na polovině jeho periody). Třeba na intervalu $[\tfrac{\pi}2,\tfrac{3\pi}2]$ už to je ale $\pi-\arcsin{x}$ , což už má opačnou derivaci. Čili zásadní chyba tvého postupu je v úpravě $u=1+\sin{x}\Rightarrow x=\arcsin(u-1)$ , která pro obecné $x\in\mathbb{R}$ rozhodně neplatí.

Metodologicky, při substituci $u=1+\sin{x}$ je lepší derivovat přímo tento vztah a úpravu výše vůbec neprovádět. To vede na výrazy typu $\sqrt{\cos^2{x}}$ , které jasně naznačují, že jejich úprava závisí na tom, v jakém intervalu se x pohybuje.