Matematické Fórum

mulder · 09. 05. 2014 16:54

Opět další problém. Zadání je takové. $x-2y-(3x+6y)\frac{dy}{dx}=0$ Dostal jsem do stavu $xdx-2ydx-3xdy-6ydy=0$ Nedaří se mi převést x a y k sobě. Budu rád za každé nakopnutí.

Jj · 09. 05. 2014 18:21

↑ mulder:

Dobrý večer. Řekl bych, že

$y' = \frac{x-2 y}{3 x+6 y}= \frac{1-2\frac{ y}{x}}{3 +6 \frac{y}{x}}$

a po substituci y/x = z --> y = zx --> y' = z'x + z je rovnice řešitelná separací proměnných.

mulder · 09. 05. 2014 18:34

↑ Jj:Tady si ani po této úpravě nevím rady. Separovatelné proměnné jsme nikdy neprocvičovali.

Jj · 09. 05. 2014 18:56

↑ mulder:

Po substituci:

$z'x + z = \frac{1-2z}{3 +6 z}$
$z'x = \frac{1-2z}{3 +6 z}-z=\frac{1-5z-6z^2}{3(1+2z)}$
$\frac{1+2z}{1-5z-6z^2}dz = \frac{1}{3x}dx$
Takže obě strany integrovat:
$\int \frac{1+2z}{1-5z-6z^2}dz = \int \frac{1}{3x}dx$

mulder · 09. 05. 2014 19:21

↑ Jj:Tak pravou stranu jsem schopen z integrovat a vyjde $\frac{1}{3}log3+C$ ale levá strana je na mě až příliš.

mulder · 09. 05. 2014 21:17

↑ mulder:Poradí mi někdo s tímto příkladem. Nevím jak dál

runcorne

No, jestli se nepletu, tak by to mělo jít rozložit.
$\int \frac{1+2z}{1-5z-6z^2}dz$
$-\int \frac{1+2z}{6z^2+5z-1}dz$
$-\int \frac{1+2z}{(6z-1)(z+1)}dz$
$\frac{1+2z}{(6z-1)(z+1)}=\frac{A}{6z-1}+\frac{B}{z+1}$
Výpočet A a B:
$1+2z=x(A+6B)+A-B$
$A+6B=2$
$A-B=1$
Z toho:
$A=\frac{8}{7}$
$B=\frac{1}{7}$
Takže:
$-\int \frac{\frac{8}{7}}{6z-1}dz-\int_{}^{}\frac{\frac{1}{7}}{z+1}dz$
A teď by to měl být prakticky jenom vzorec.

mulder · 09. 05. 2014 22:04

$1+2z=x(A+6B)+A-B$ ↑ runcorne:Tam má být asi z místo x?

mulder · 09. 05. 2014 22:19

↑ runcorne:Pomocí wolframu jsem došel k výsledku $-\frac{4}{21}ln|6z-1|-\frac{1}{7}ln|z+1|+C=\frac{1}{3}ln|3|+C$ ale dál jsem marný a nevím jak dál. Hlavně nevím kde se vzala $-\frac{4}{21}$

Takjo · 09. 05. 2014 22:33

↑ mulder:
Dobrý večer,
pravá strana výrazu $-\frac{4}{21}ln|6z-1|-\frac{1}{7}ln|z+1|+C=\frac{1}{3}ln|3|+C$ by snad měla být $\frac{1}{3}ln|x|+C$ (chybí vám tam neznámá x)

runcorne

↑ mulder:
Jasně, za to se omlouvám..., jsem zvyklý počítat s x a nějak se tam vloudilo...

No, zavedete si třeba substituci:
$6z-1=t$ , takže $6dz=dt$ , takže $dz=\frac{dt}{6}$

$-\int \frac{\frac{8}{7}}{t}\frac{dt} 6$
$-\int \frac{\frac{4}{21}}{t}dt=-\frac{4}{21}ln\text{ }|t|$
A zpětné dosazení za t:
$-\frac{4}{21}ln\text{ }|6z-1|$

mulder · 10. 05. 2014 08:15

↑ runcorne:Díky za radu. Teď už to chápu. Tak to co jsem z integroval je už výsledek nebo se s tím ještě něco musí udělat?

Jj · 10. 05. 2014 09:13

↑ mulder:

Ještě je třeba provést zpětnou substituci z = y/x.

mulder · 10. 05. 2014 09:15

↑ Jj:A to už bude výsledek?

mulder · 10. 05. 2014 09:30

↑ Jj:Po dosazení jsem dosatl výsledek $-\frac{1}{7}(4ln(6y-x)+3ln(y+x)-7ln(x))=C_{1}+ln(x)$ Pak z konstanty udělám funkci C(x) a co potom. MAW mi vypočetl $C(x)=\frac{x}{(y+x)^{\frac{3}{7}}\cdot (\cdot 6y-x)\frac{4}{7}}$

Jj · 10. 05. 2014 09:44 — Editoval Jj (10. 05. 2014 09:51)

↑ mulder:

Ne z konstanty už u této diferenciální rovnice funkci C(x) neděláte. Výraz po substituci (pokud jsme se po cestě k jeho získání někde nesekli) už je jejím řešením. Snad ho ještě upravit, třeba podle výpočtu MAW:

$(y+x)^{\frac{3}{7}}\cdot (6y-x)^{\frac{4}{7}}=C\cdot x$

mulder · 10. 05. 2014 11:06

↑ Jj:Takže chápu to tak, že když u diferenciálních rovnic prvního řádu použiji substituci, tak počítám konstantu C a ta je výsledkem rovnice

Jj · 10. 05. 2014 11:15

↑ mulder:

Ne, to nechápete dobře, obecně nic takového neplatí.

mulder · 10. 05. 2014 11:20

↑ Jj:Obecně asi ne, ale v tomto případě myslím. Zdá se mi, že toto je složitý příklad na to, že je to pro dálkové studium.

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2014 16:54

Diferenciální rovnice I.řádu

#2 09. 05. 2014 18:21

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#3 09. 05. 2014 18:34

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#4 09. 05. 2014 18:56

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#5 09. 05. 2014 19:21

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#6 09. 05. 2014 21:17

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#7 09. 05. 2014 21:53 — Editoval runcorne (09. 05. 2014 21:54)

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#8 09. 05. 2014 22:04

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#9 09. 05. 2014 22:19

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#10 09. 05. 2014 22:33

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#11 09. 05. 2014 22:42 — Editoval runcorne (09. 05. 2014 22:47)

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#12 10. 05. 2014 08:15

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#13 10. 05. 2014 09:13

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#14 10. 05. 2014 09:15

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#15 10. 05. 2014 09:30

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#16 10. 05. 2014 09:44 — Editoval Jj (10. 05. 2014 09:51)

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#17 10. 05. 2014 11:06

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#18 10. 05. 2014 11:15

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

#19 10. 05. 2014 11:20

Re: Diferenciální rovnice I.řádu

Zápatí