Matematické Fórum

petr1202

Zdravím,

našel by se tu někdo tak hodný, že by mi pomohl vyřešit následující diferenciální rovnici?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/69578_unnamed.jpg
Zadání je následující:
Najít obecné řešení (snad již mám) a dále najít 2 partikulární řešení pro počáteční podmínky:
y(0)=1, y´(0)=-1, y(1)=0 a y´(1)=1
Partikulární řešení jsem zkoušel hledat pomocí metody odhadu, ale potřeboval bych to nějak podrobně rozepsat, neumím ji použít...
A dále bych potřeboval odkaz na nějaký program, který by zvládl do grafu zakreslit ty partikulární řešení...

Za pomoc moc děkuji!

Eratosthenes · 08. 05. 2014 19:29

ahoj ↑ petr1202:,

obecné řešení ještě nemáš, zatím máš jenom obecné řešení homogenní rovnice. Ještě musíš najít obecné řešení rovnice s pravou stranou...

petr1202 · 08. 05. 2014 19:36

A nemohli byste mi prosím ukázat, jak to dopočítat i s tou pravou stranou? Projel jsem už několik online materiálů, ale stále nějak nechápu.

Eratosthenes · 08. 05. 2014 20:19

ahoj ↑ petr1202:,

$y_p = Ae^{2x}$

$y_p^{'} = 2Ae^{2x}$

$y_p^{''} = 4Ae^{2x}$

Dosaď do zadané rovnice a vypočítáš A.

petr1202 · 08. 05. 2014 21:44

↑ Eratosthenes:
Díky, dosadil jsem a vyšlo mi:
4A - 6A + 2A = 1 --> 0A = 1. To je divné, ne?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/78277_IMAG0274.jpg

Takjo · 09. 05. 2014 13:03

↑ petr1202:
Dobrý den,
odhad partikulárního řešení není správně, mělo by být: $y_p = Axe^{2x}$ , protože jeden z kořenů
charakteristické rovnice je 2.

petr1202 · 09. 05. 2014 13:52

Znamená to tedy, že vyjde A=1 a obecné řešení pak bude: $C_{{1}}e^{2x}+C_{2}e^{x}+xe^{2x}$
a tím mám tedy vyřešené obecné řešení?

Takjo · 09. 05. 2014 22:28

↑ petr1202:
Dobrý večer,

$A=1$ $\Rightarrow$ obecné řešení je: $y=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{x}+xe^{2x}$ .

Teď ještě dle zadání příkladu najděte 2 partikulární řešení pro zadané počáteční podmínky... :)

petr1202 · 10. 05. 2014 10:58

A do čeho/jak mám dosazovat ty podmínky teď? :(

Takjo · 10. 05. 2014 12:39

↑ petr1202:
Dobrý den,

obecné řešení je: $y=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{x}+xe^{2x}$

Jeho derivace je: $y^{'}=...$

A dále dosadíte: $y_{(0)}=1$
$y^{'}_{(0)}=-1$

petr1202 · 10. 05. 2014 20:26

Takže jsem si udělal derivaci obecného řešení:
$2c_{1}e^{2x}+xc_{2}e^{x}+e^{2x}+x2e^{2x}=e^{x}(2c_{1}e^{2}+xc_{2})+e^{2x}(1+2x)$
a teď mám prostě celou tuto 1. derivaci položit rovnou -1..?

Takjo · 11. 05. 2014 14:45

↑ petr1202:
Dobrý den,
obecné řešení: $y=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{x}+xe^{2x}$
jeho derivace: $y^{'}=2C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{x}+e^{2x}+2xe^{2x}=e^{2x}(2C_{1}+1+2x)+C_{2}e^{x}$

Smyslem nalezení partikulárního řešení je nahrazení konstant $C_{1}$ a $C_{2}$ konkrétními čísly.
Takže do obecného řešení dasadíte za x 0 a za y 1.
Do derivace obecného řešení dosadíte za x 0 a za y -1.

Dostanete soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé $C_{1}$ a $C_{2}$ , které potom dosadíte
do obecného řešení, čímž dostanete jedno partikulární řešení pro zadané počáteční podmínky.

petr1202 · 11. 05. 2014 20:45

Dosadil jsem tedy, vyšly mi následující rovnice:
$c_{1}+c_{2}=1$
$2c_{1}+c_{2}=-2$
Tudíž: $c_{1}=-3$ a $c_{2}=4$ ... Musím ještě znovu někam dosazovat, nebo tato uspořádaná dvojice je již jedním partikulárním řešením?

Akorát teď mám problém u toho 2. řešení, kde mi vycházejí rovnice:
$-e=c_{_{1}}e+c_{2}$
$1=2c_{1}+3e^{2}+c_{2}e$
a nevím si rady s úpravou/vyjádřením c1 a c2...

Takjo · 12. 05. 2014 12:07

↑ petr1202:
Dobrý den,
vypočtené konstanty dosadíte do obecného řešení: $y=-3e^{2x}+4e^{x}+xe^{2x}$

U druhého partikulárního řešení vychází: $C_{1}=\frac{1-2e^{2}}{e^{2}}$ a $C_{2}=\frac{e^{2}-1}{e}$

petr1202 · 12. 05. 2014 18:37

Dobrý den, tak snad hotovo, druhé partikulární řešení jsem tedy nechal v tomto tvaru (snad již není třeba roznásobovat):
$\frac{1-2e^{2}}{e^{2}}e^{2x}+\frac{e^{2}-1}{e}e^{x}+xe^{2x}$

Moc děkuji za Vaši pomoc! :-)

Takjo · 12. 05. 2014 19:31

↑ petr1202:
Není zač, ať se vám daří...

Matematické Fórum

#1 08. 05. 2014 19:26 — Editoval petr1202 (08. 05. 2014 19:29)

Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#2 08. 05. 2014 19:28 Příspěvek uživatele petr1202 byl skryt uživatelem petr1202.

#3 08. 05. 2014 19:29

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#4 08. 05. 2014 19:32 — Editoval vanok (12. 05. 2014 12:18) Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Duplicita

#5 08. 05. 2014 19:36

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#6 08. 05. 2014 20:19

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#7 08. 05. 2014 21:44

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#8 09. 05. 2014 13:03

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#9 09. 05. 2014 13:52

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#10 09. 05. 2014 22:28

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#11 10. 05. 2014 10:58

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#12 10. 05. 2014 12:39

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#13 10. 05. 2014 20:26

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#14 10. 05. 2014 20:59 Příspěvek uživatele Takjo byl skryt uživatelem Takjo.

#15 11. 05. 2014 14:45

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#16 11. 05. 2014 20:45

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#17 12. 05. 2014 12:07

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#18 12. 05. 2014 18:37

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#19 12. 05. 2014 19:31

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

Zápatí