Matematické Fórum

Optix · 09. 05. 2014 09:08

Ahoj, potřeboval bych poradit, s úkolem napsat Farkasovu větu pro nějakou soustavu a nevím jestli to úplně chápu. Máme větu ve znění: Soustava $Ax=b$ má nezáporné řešení $\Leftrightarrow \forall u: A^{T}u\ge 0 \Rightarrow b^{T}\ge 0$ .
A kdybych měl napsat tuto větu třeba pro soustavu
$2x-y\ge 0$
$-x+y\le 3$
$x\ge 0,y\in \mathbb{R}$
chápu to správně že pomocí skluzových proměnných uvedeme soustavu do standartního tvaru, a y bych přepsal jako $y=y_{+}-y_{-},y_{+}\ge 0,y_{-}\ge 0$ nebo toto není nutné?
A pak bych si napsal matici A? A tím by všechno končilo nebo jak se má správně postupovat?
Prosím o pomoc :)

Brano · 09. 05. 2014 10:38 — Editoval Brano (09. 05. 2014 10:39)

asi tam budes mat chybu - malo by to byt
$...\Leftrightarrow (\forall u )(A^{T}u\ge 0 \Rightarrow b^{T}u\ge 0)$

pozri http://en.wikipedia.org/wiki/Farkas'_lemma

Optix · 09. 05. 2014 13:19

ano ano zřejmě, děkuji :) a jak by se to tedy prosím řešilo?? :)

vanok · 09. 05. 2014 13:34 — Editoval vanok (09. 05. 2014 13:36)

Ahoj ↑ Optix:,
Na fr verzii wikipedie mas podrobnejsi clanok na tuto tenu aj z dokazmy.

Brano · 10. 05. 2014 00:58 — Editoval Brano (10. 05. 2014 01:31)

↑ Optix:
bohuzial, ti neviem moc k tomu povedat, len som poukazal na to co sa nakoniec ukazalo iba ako preklep - nikdy som s tym nerobil

len sa mi este zda, ze ty uvazujes sustavu nerovnic, zatial co ta lema v odkaze hovori o sustave rovnic (a jeho kladnom rieseni) takze to si treba nejak ujasnit

samozrejme mozes sustavu nerovnic prerobit na rovnice standardnym sposobom, t.j.
$2x-y-u=0$
$-x+y+v=3$
a $u,v\ge 0$
tak neviem ci si sa na to pytal - a to s tym rozpisanim $y=y_+-y_-$ je tiez spravny pristup

Optix · 10. 05. 2014 22:02

Aha, škoda ale i tak díky za zájem, mě by právě zajímalo jestli se někdo setkal s typem úlohy sestavit Farkasovu větu pro nějakou soustavu, moc nevím totiž co si s ní poradit :)

vanok · 10. 05. 2014 22:07 — Editoval vanok (10. 05. 2014 22:19)

↑ Optix:,
Pozri sem ↑ vanok:, je to podrobne. Maly slovnik ti postaci.

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2014 09:08

Farkasova věta

#2 09. 05. 2014 10:38 — Editoval Brano (09. 05. 2014 10:39)

Re: Farkasova věta

#3 09. 05. 2014 13:19

Re: Farkasova věta

#4 09. 05. 2014 13:34 — Editoval vanok (09. 05. 2014 13:36)

Re: Farkasova věta

#5 10. 05. 2014 00:58 — Editoval Brano (10. 05. 2014 01:31)

Re: Farkasova věta

#6 10. 05. 2014 22:02

Re: Farkasova věta

#7 10. 05. 2014 22:07 — Editoval vanok (10. 05. 2014 22:19)

Re: Farkasova věta

Zápatí