Matematické Fórum

hans66 · 06. 05. 2014 21:24

Najdete absolutní extrémy funkce
$f(x,y)=x^{2}-2x+y^{2}-2$ na množině $x^{2}+y^{2}\le 5$
Dale overte, zda-li ma tato funkce llokalní extremy.

Lokalní extremy bez mnoziny umím spocitat, ale toto nevím jak. Děkuji za radu

Formol · 06. 05. 2014 23:02

↑ hans66:
Postup je jednoduchý, jen musíš postupovat ve dvou krocích:
1. Najdi extrémy uvnitř množiny způsobem, který znáš. Tedy najdi ty lokálná extrémy, které jsou uvnitř kruhu se středem v počátku a s poloměrem sqrt(5).

2. Najdi extrémy na hranici množiny. Na to se podívej na pojem vázané extrémy.

Pak už jen z výsledků vyber globální maximum a minimum (pokud existují).

hans66 · 08. 05. 2014 11:59

↑ Formol:

Je tento postup spravný?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/43140_extrem.jpg

Jj · 08. 05. 2014 12:25

↑ hans66:

Dobrý den,
řekl bych, že není. Chyba je počínaje výpočtem 'y' ze vztahu $\frac{\partial \Phi}{\partial y}=0$ .

hans66 · 08. 05. 2014 15:44

↑ Jj:

Dobrý den,
děkuji za upozornění. už jsem to snad opravil.. je to takto dobře?
jen si myslim že mi nevychází bod $A_{2}$

vysledek by mel byt:
absolutni i lokalni minimum $[1,0]$
absolutni maximum $[-\sqrt{5};0]$ ... je možné že ve výsledcích může být chybka.

jak tedy ted postupovat dal?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/56410_20140508_153651.jpg

Jj · 08. 05. 2014 17:10

↑ hans66:

Řekl bych, že body podezřelé na extrém - (1,0), A1 i A2 jsou určeny správně. V těchto bodech bych ještě určoval také hodnotu f(x,y).

V textu píšete
"absolutni maximum $[-\sqrt{5};0]$ ", na fotce " $[-\sqrt{5};0]$ - lokální minimum"

Takže to ještě není zcela čisté.

hans66 · 08. 05. 2014 20:01

↑ Jj: bohužel nevidim, kde mam chybu..

bod podezřelý (1,0) vezmu kde? toto jsem opsal z výsledku pro kontrolu. Jeste bych Vas chtel poprosit jak pokracovat?

$f(-\sqrt{5};0)=3+2\sqrt{5}$
$f(\sqrt{5};0)=3-2\sqrt{5}$

děkuji

hans66 · 10. 05. 2014 18:37

↑ Jj:

Dobrý den,
mohl bych Vás poprosit o kontrolu zda to je postupově správně?

Bod $(1,0)$ podezřelý z extrému získám že položím $\lambda =0$ ?
Lokální maximum má být u bodu $(1,0)$ , toto mohu určit u posledního obrázku dosazením do funkce a podle nejnižší hodnoty, která vyšla $-3$ mohu usoudit že se jedná o lokální minimum?
Děkuji za jakoukoliv radu :-)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/39535_20140510_182855.jpg

Jj · 10. 05. 2014 20:12

↑ hans66:

Bod (1,0) získáte podle bodu 1 rady kolegy ↑ Formol:, tzn. najít lokální extrémy uvnitř dané množiny. Podle rady 2 pak extrémy na hranici množiny. Vy jste asi bod 1 vynechal.

Takže podle bodu 1 hledáte "běžným způsobem" lokální extrémy (parciální derivace = 0 atd.) funkce
$f(x,y)=x^{2}-2x+y^{2}-2$ a vyberete ty, které leží uvnitř dané množiny, tj. pro něž platí $x^{2}+y^{2} < 5$ .

Extrém najdete jen jeden - minimum v bodě (0,1) - a ten leží uvnitř dané množiny.
To odpovídá geometrickému významu funkce
$z =x^{2}-2x+y^{2}-2 \Rightarrow z+3 = (x-1)^2+y^2$ - rotační paraboloid s osou rovnoběžnou s osou z, otevřený ve směru osy z, s vrcholem v bodě (1,0,-3). Takže půjde o absolutní minimum dané funkce.

Podle bodu dva pak vyhledáváte extrémy na hranici množiny tj. pro $x^{2}+y^{2} = 5$ , třeba metodou, kterou jste užil.

Z geometrického názoru je zřejmé, že na hranici bude bude jedno minimum (lokální), jedno maximum (absolutní). Tyto extrémy jste také našel.

A ano - podle hodnoty funkce v bodech s extrémy posuzujete, zda jde o absolutní, lokální a pod. extrém.

hans66 · 10. 05. 2014 21:03

Děkuji

hans66 · 10. 05. 2014 22:00

↑ Jj: Tak jsem myslel, že extremy uvnitr mnoziny jsem pochopil, ale asi tomu tak neni..

$f(x,y)=1+x+y^{2}$ na množine $x^{2}+ 2y^{2}\le 4$

$\frac{df}{dx}=1$
$\frac{df}{dy}=2y$

$z=1+x+y^{2} \Rightarrow z-1=x+y^{2}$

Body by meli vyjit: $[1,\sqrt{\frac{3}{2}}]; [1,-\sqrt{\frac{3}{2}}]$

jeste prosím o radu, moc v tom nevidím jak toho dosahnout... :-(

Jj · 10. 05. 2014 22:19 — Editoval Jj (10. 05. 2014 22:22)

↑ hans66:

Obě parciální derivace nemohou být současně = 0, takže stacionární bod funkce neexistuje (ani uvnitř dané množiny, ani vně).

Takže jediná možnost najít extrémy na hranici množiny, tj. pro $x^{2}+ 2y^{2} = 4$ .

To už dáte.

Edit: Ještě poznámka - není nejvhodnější dávat nový dotaz do starého téma, ještě k tomu označeného jako vyřešené.

Jj · 11. 05. 2014 10:26

↑ hans66:

Případně lze také použít "dosazovací" metodu pro zjištění extrémů na hranici:

$f(x,y)=1+x+y^{2}$ na množině
$x^{2}+ 2y^{2} = 4 \Rightarrow y^2=\frac{4-x^2}{2}\Rightarrow z=1+x+\frac{4-x^2}{2}$

Takže hledat extrémy funkce jedné nezávisle proměnné:
$z' = 1-x = 0 \Rightarrow x = 1$
$z'' = -1 < 0 \Rightarrow \text{maximum}$

$|y|_{x=1}=\sqrt\frac{4-1^2}{2}\Rightarrow y=\pm\sqrt\frac{3}{2}$

Takže maxima v bodech $_{\[1,\sqrt{\frac{3}{2}}\]; \[1,-\sqrt{\frac{3}{2}}\]}$

Matematické Fórum

#1 06. 05. 2014 21:24

Absolutní extrémy funkce

#2 06. 05. 2014 23:02

Re: Absolutní extrémy funkce

#3 08. 05. 2014 11:59

Re: Absolutní extrémy funkce

#4 08. 05. 2014 12:25

Re: Absolutní extrémy funkce

#5 08. 05. 2014 15:44

Re: Absolutní extrémy funkce

#6 08. 05. 2014 17:10

Re: Absolutní extrémy funkce

#7 08. 05. 2014 20:01

Re: Absolutní extrémy funkce

#8 10. 05. 2014 18:37

Re: Absolutní extrémy funkce

#9 10. 05. 2014 20:12

Re: Absolutní extrémy funkce

#10 10. 05. 2014 21:03

Re: Absolutní extrémy funkce

#11 10. 05. 2014 22:00

Re: Absolutní extrémy funkce

#12 10. 05. 2014 22:19 — Editoval Jj (10. 05. 2014 22:22)

Re: Absolutní extrémy funkce

#13 11. 05. 2014 10:26

Re: Absolutní extrémy funkce

Zápatí