Matematické Fórum

Klarushinka · 10. 02. 2009 15:38

Ahojík, zasekla jsem se na tomhle příkladu a nevim jak dál. Jsem uplně zoufalá. Ani nevim jestli jsem to X správně roznásobila.

Kdyby mi s tim někdo pomoh byla bych moc moc mocinky vděčná :)

lukaszh · 10. 02. 2009 20:42

↑ Klarushinka:
Označím si maticu pri X ako A, druhú B a tretiu C. Mám teda rovnicu:
$AX=B-C$
Celú rovnicu prenásobím zľava inverznou k A:
$A^{-1}AX=A^{-1}(B-C)\quad\Rightarrow\quad X=A^{-1}(B-C)$
Zvolila si zle maticu X. Má vzniknúť matica typu 3x2. Teda násobíš matice typu 3x2 a XxY. Z pravidiel by si mala vedieť, že
$||a_{ij}||_{m\times n}\cdot||b_{ij}||_{n\times p}=||c_{ij}||_{m\times p}$
Teda tvoja neznáma matica X musí byť typu 2x2

Asinkan · 10. 02. 2009 20:52

Ahoj Lukash má pravdu s tou maticí,musí být 2x2 ale nelze udělat inverzní matice k A-neni čtvercová. Udělej to znovu tak jak jsi to dělala s maticí 2x2 a vyjde ti přeurčená soustava 6 rovnic pro 4 neznámé. Takže ti po gausově eliminaci patrně vypadnou dvě rovnice a máš 4 rovnice pro 4 neznámí.

lukaszh · 10. 02. 2009 21:17

↑ Asinkan:
Ja som mal skôr na mysli ľavú inverznú maticu, teda:
$\begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\nlx_4&x_5&x_6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&2\nl1&0\nl1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\nl0&1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-1&1&1\nl2&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1&x_4\nlx_2&x_5\nlx_3&x_6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\nl0&1\end{pmatrix}$
Teda riešim dva systémy:
$\begin{pmatrix}-1&1&1\nl2&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\nlx_2\nlx_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\nl0\end{pmatrix}\Rightarrow\{\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\varphi\nl1-\frac{5}{2}\varphi\nl\varphi\end{pmatrix}\,;\;\varphi\in\mathbb{R}\}$
Podobne riešim druhý systém:
$\begin{pmatrix}-1&1&1\nl2&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_4\nlx_5\nlx_6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\nl1\end{pmatrix}\Rightarrow\{\begin{pmatrix}\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\xi\nl\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\xi\nl\xi\end{pmatrix}\,;\;\xi\in\mathbb{R}\}$
Dosadím napríklad $\varphi,\xi=0$ a dostanem inverznú (jednu z nekonečna):
$\begin{pmatrix}0&1&0\nl\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}$
a použijem pri rovnici:
$\begin{pmatrix}0&1&0\nl\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&2\nl1&0\nl1&3\end{pmatrix}\cdot X_{2\times 2}=\begin{pmatrix}0&1&0\nl\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}12&5\nl2&-3\nl23&0\end{pmatrix}\nl X_{2\times 2}=\begin{pmatrix}2&-3\nl7&1\end{pmatrix}$
Teda riešení je nekonečne veľa.

Asinkan · 11. 02. 2009 10:42

↑ lukaszh:
Bude to správně, ale jak jsi došel k tomu v tý složený závorce?
$\begin{pmatrix}-1&1&1\nl2&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\nlx_2\nlx_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\nl0\end{pmatrix}\Rightarrow\{\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\varphi\nl1-\frac{5}{2}\varphi\nl\varphi\end{pmatrix}\,;\;\varphi\in\mathbb{R}\}$

Pavel Brožek · 11. 02. 2009 11:16

↑ lukaszh:

Řešení není nekonečně mnoho, je jen jedno, to co uvádíš. To ale není v rozporu s tvým postupem.

Nerozumím tomu, proč by ten postup měl fungovat, budu si to ještě muset promyslet.

musixx · 11. 02. 2009 12:51 — Editoval musixx (11. 02. 2009 13:04)

↑ BrozekP: Resime totiz maticovou rovnici (a dokonce ani neni podstatne, ze maticovou): $AX=B-C$ . Pro kazdou matici $D$ s vlastnosti, ze $DA={\rm id}$ (tedy DA je jednotkova matice a rozmer matice D je tak jednoznacne dan rozmerem matice A), plati, ze $X=D(B-C)$ . To, ze matice D bude rozmerove kompatibilni pro nasobeni matici B-C zprava nemusime nijak zkoumat.

No a ze pro nasi konkretni matici A existuje nekonecne mnoho takovych matic D, ukazal ↑ lukaszh:.

Ovsem jeho zaver, ze proto existuje nekonecne mnoho matic X, neni nicim podporen. Proc by melo byt D(B-C) ruzne od D'(B-C) pro D ruzne od D'? Sem asi miri ↑ BrozekP:.

EDIT: Vzdyt kdyby tomu tak bylo, tedy kdyby D <> D' => D(B-C) <> D'(B-C), tak by to znamenalo, ze matice D existuje jen jedna (ona sama totiz vznikla jako reseni rovnice DA=identita pro neznamou D).

Pavel Brožek

↑ musixx:

Přesně tam jsem mířil.

Jinak je mi jasné, že řešení musí splňovat rovnost $X=D(B-C)$ . Není mi ale jasné, proč by všechna $X=D(B-C)$ měla být řešeními původní rovnice. Tím chci říct, že násobení maticí D je neekvivalentní úprava a měla by proto být na konci uvedena zkouška. (Pokud je to ekvivalentní úprava, pak bych rád věděl proč.)

Nerozumím EDITu, proč z té implikace plyne, že matice D existuje jen jedna?

musixx · 13. 02. 2009 09:16 — Editoval musixx (13. 02. 2009 09:17)

↑ BrozekP: K tomu EDITu: Oznacme D <> D' => D(B-C) <> D'(B-C) jako "lukashuv predpoklad", kde B-C je nejaka matice (vime o ni jen to, ze je kompatibilni s D a D' pro naznacene nasobeni). Necht tedy mame dve reseni D a D' rovnice XA=I. Nebot DA=I=D'A, musi byt podle lukashova predpokladu D=D' (roli B-C zde hraje matice A) - staci udelat obmenu lukashova predpokladu (nebo jak se rika ekvivalenci (a=>b) <=> (not b => not a)).

Pavel Brožek

↑ musixx:

EDITu už rozumím.

↑ lukaszh:

Chybí mi v tvém postupu nějaké zdůvodnění, proč by X tak, jak ti vyšlo, vůbec mělo být řešením. Jak jsem psal, vynásobení inverzní maticí k A obecně není ekvivalentní úprava, zkus si svůj postup aplikovat na maticovou rovnici

,

která nemá řešení.

lukaszh · 14. 02. 2009 19:22

↑ BrozekP:
Vyšla mi všeobecná D matica, vzhľadom na dva parametre.
$D=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\varphi&1-\frac{5}{2}\varphi&\varphi\nl\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\xi&\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\xi&\xi\end{pmatrix}$
Keď vynásobím pravú stranu zľava dostanem jednotkovú maticu v súčine s X, teda ju osamostatním a na pravej strane opäť násobením zľava dostanem toto
$EX=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\varphi&1-\frac{5}{2}\varphi&\varphi\nl\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\xi&\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\xi&\xi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}12&5\nl2&-3\nl23&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\nl7&1\end{pmatrix}$

Pavel Brožek · 14. 02. 2009 23:18

↑ lukaszh:

Ano, myslím, že ruzumím tomu tvému postupu. Upozorňuji ale na to, že použitá úprava není ekvivalentní. Pokud existuje řešení, tak to řešení určitě bude ta matice, co ti vyjde. Ale to, že tímto způsobem získáš nějakou matici X neznamená, že ta matice bude řešením původní úlohy.

Nejsem si jistý, že si rozumíme, z příkladu by snad mělo být jasné, jak to myslím. Tam vyjde matice

$D=\begin{pmatrix}\varphi&1-2\varphi\end{pmatrix}$

a po vynásobení rovnice D zleva

.

Když provedeš zkoušku, nevyjde.

lukaszh · 15. 02. 2009 12:15

↑ BrozekP:
O.K. Beriem na vedomie.

Matematické Fórum

#1 10. 02. 2009 15:38

maticová rovnice

#2 10. 02. 2009 20:42

Re: maticová rovnice

#3 10. 02. 2009 20:52

Re: maticová rovnice

#4 10. 02. 2009 21:17

Re: maticová rovnice

#5 11. 02. 2009 10:42

Re: maticová rovnice

#6 11. 02. 2009 11:16

Re: maticová rovnice

#7 11. 02. 2009 12:51 — Editoval musixx (11. 02. 2009 13:04)

Re: maticová rovnice

#8 12. 02. 2009 18:32 — Editoval BrozekP (12. 02. 2009 18:33)

Re: maticová rovnice

#9 13. 02. 2009 09:16 — Editoval musixx (13. 02. 2009 09:17)

Re: maticová rovnice

#10 14. 02. 2009 18:31 — Editoval BrozekP (14. 02. 2009 18:34)

Re: maticová rovnice

#11 14. 02. 2009 19:22

Re: maticová rovnice

#12 14. 02. 2009 23:18

Re: maticová rovnice

#13 15. 02. 2009 12:15

Re: maticová rovnice

Zápatí