Matematické Fórum

Ospli · 13. 05. 2014 15:48 — Editoval Ospli (13. 05. 2014 15:51)

Ahoj,
nedaří se mi dokázat větu o newtonově integrálu.

Jeli funkce f newtonovsky integrovatelná na (a,b) a (b,c) a je-li spojítá v bodě b, pak je newtonovsky integrovatelná na (a,c).

Označím si G prim. funkci k f na (a,b) a H prim. funkci k f na (b,c).
Vím, že G(b-) a H(b+) existují, tak si je posunu o konstantu tak, aby G(b-) = H(b+) a definuji si funkci
F(x) :=
G(x) ... x náleží (a,b)
G(b-) = H(b+) ... x = b
H(x) ... x náleží (b,c)

Potom F je primitivní k f na (a,c). Jenže...

Definice newtonovské integrovatelnosti nezaručuje, že limity v krajních bodech jsou vlastní. Potom, kdyby G(b-) = -nekonečno a H(b+) = +nekonečno, nenajdu konstantu, abych si prim funkce vhodně posunul. To nemluvím o lepení primitivních funkcí, kdy nemám ani zaručenou existenci limit v krajních bodech.
Předpokládám tedy, že by měla platit věta:

Pokud F je primitivní k f na (a,b) a f je spojitá zleva v bodě b, potom limita F(x) pro x jdoucí zleva k b existuje a je vlastní. Jenže ta se mi právě nedaří dokázat...

Rumburak

↑ Ospli:

Ahoj.

Nesmíme zapomínat na předpoklad, že funkce $f$ je spojitá v bodě $b$ . Odtud plyne, že je omezená na některém okolí $G$
bodu $b$ , tudíž uvažované funkce $G, H$ "utéci" do $+\infty$ resp. $-\infty$ nemohou - lze to, myslím, odůvodnit třeba pomocí
Lagrangeovy věty o střední hodnotě.

Přidáme-li pomocný předpoklad, že na $G$ je $f > 0$ , máme zaručenu i monotonii funkcí $G, H$ v blízkosti bodu $b$ .
Obdobně při $f < 0$ na $G$ .
Nelze-li splnění některého z těchto pomocných předpokladů zajistit (v případě $f(b) = 0$ ) , potom místo s funkcí $f$
můžeme pracovat s funkcí $g = f + C$ (kde $C$ je nenulová konstanta) a pak použít větu o aditivitě NI s tím, že konstantní
funkce má NI. EDIT: viz poznámka v ↑ Rumburak: .

Ospli · 13. 05. 2014 17:56 — Editoval Ospli (13. 05. 2014 17:57)

Tak jsem přišel na to, že v předpokladech věty o newtonovu integrálu se mluví o tom, že newtonův integrál je konvergentní, z čehož plyne, že limity musí být vlastní.

↑ Rumburak: Zkusil jsem to s tou lagrangeovou větou a snad ten důkaz funguje :)

Nechť F je primitivní k f na (a,b). Jestliže je f spojitá zleva v bodě b, potom limita F(x) pro x jdoucí zleva k b existuje a je vlastní.

Sporem: Nechť limita F(x) pro x jdoucí zleva k b neexistuje nebo je nevlastní. Potom, podle Bolzano-Cauchyovy podmínky platí
$\exists \varepsilon \forall \delta \exists x,y\in (b-\delta ,b): |F(x)-F(y)| >\varepsilon$

F je spojitá na levém delta-okolí bodu b, tedy je spojitá na intervalu [x,y] a podle Lagrangeovy věty existuje
$c\in (x,y): |F'(c)| = |\frac{F(x)-F(y)}{x-y}|$
tedy $|F'(c)| = |f(c)| >\frac{\varepsilon }{|x-y|}$

Pokud volím $\delta$ čím dál blíž k nule, jde i $|x-y|$ čím dál více k nule, a tudíž f(c) roste nade všechny meze. Jenže f(c) je omezená na nějakém okolí b, což dává spor.

Rumburak · 14. 05. 2014 09:40

↑ Ospli:

Ano, třeba tak.

Ještě k tom mému předchozímu příspěvku: Dodatečně jsem si uvědomil, že ta metoda s přičtením konstnanty $C$ v případě
$f(b) = 0$ bude fungovat (jen) za předpokladu, že interval $(a, c)$ bude omezený. V obecném případě bude nutno příčíst
nějakou (v bodě $p$ nenulovou) funkci , jejíž NI přes celou reálnou osu je konečný. Takovou je například funkce $\frac{1}{x^2 + 1}$ .

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2014 15:48 — Editoval Ospli (13. 05. 2014 15:51)

Limita primitivní funkce v krajním bodě

#2 13. 05. 2014 16:54 — Editoval Rumburak (14. 05. 2014 09:42)

Re: Limita primitivní funkce v krajním bodě

#3 13. 05. 2014 17:56 — Editoval Ospli (13. 05. 2014 17:57)

Re: Limita primitivní funkce v krajním bodě

#4 14. 05. 2014 09:40

Re: Limita primitivní funkce v krajním bodě

Zápatí