Matematické Fórum

Bumboombum · 14. 05. 2014 14:24

Potřeboval bych pomoc jak řešit příklad :
P: y $^{2}$ -4x +2y+9=0 Bod M= [1;y $_{0}$ ]

? Odchylka tečen k parabole z bodu M? Díky za rady!

Bumboombum · 14. 05. 2014 16:00

Dokázal by mi aspoň někdo poradit jak vypočítat druhou souřadnici bodu M ?

maver · 14. 05. 2014 16:16

Jestli dobře rozumím a bod M je bodem dotyku tečny k parabole a znáš souřadnici x, pak souřadnici y bodu M vypočítáš jednoduše dosazením x do rovnice paraboly.

Takjo · 14. 05. 2014 16:20

↑ Bumboombum:
Dobrý den,
myslím, že máte nesprávně zadání příkladu.
Bod M neleží na parabole (po dosazení do rovnice paraboly za x=1 vychází záporný diskriminant)

Bumboombum · 14. 05. 2014 16:30

↑ Takjo:
Zadání je takle korektně pokud kantor neudělal chybu při zadávání tak asi opravdu příklad nemá řešení .

maver · 14. 05. 2014 16:33

Pokud je bod M bodem průniku dvou tečen, pak řešení by mohlo být toto:

Krok 1:
Určíš si směrový vektor tečny 1 (T1-M)
Určíš si směrový vektor tečny 1 (T2-M)

Krok 2:
Vypočítáš úhel mezi těmito směrovými vektory

Bumboombum · 14. 05. 2014 16:36

↑ maver:
K tomu bych ovšem potřeboval rovnici tečny ne ? Nebo jak se dá získat vektor ?

maver · 14. 05. 2014 16:52

jde o úlohu bodem M veď tečnu k parabole (pomůže rovnice pro tečnu - tabulky?)
tečna je daná bodem M a bodem T na parabole ..

Takjo · 14. 05. 2014 17:02

↑ maver:
Dobrý den,
háček je v tom, že bod M není zadán jednoznačně (pouze x-souřadnice) a navíc na parabole neleží.
A takových bodů je nekonečně mnoho.

maver · 14. 05. 2014 17:14

Bod T je dán dvěma rovnicemi:

rovnicí paraboly a rovnicí tečny
jde o systém dvou rovnic - tam, kde je jedno řešení (bod doteku s parabolou = 1) jde o tečnu.

teprve pak lze přistoupit k určování úhlu tečen.

Bumboombum · 14. 05. 2014 17:14

↑ maver:
Mohl by jste prosím nastínit jak by jste tento konkrétní případ řešil ? Řekl bych že rozumím jak to myslíte ale nevím jak to řešit.

Bumboombum · 14. 05. 2014 17:33

↑ Bumboombum:
Alespoň postup jak se dopracovat k rovnici tecne, vždy mi diskriminant vyjde záporný.

jelena · 14. 05. 2014 17:49

Zdravím,

při tomto zadání opravdu úloha nepůjde vyřešit jednoznačně - viz kolega ↑ Takjo:. Také bych tipovala na nedostatečné zadání. Stejná kuželosečka je zadána v Petákové a k tomu bod M [1; -1], úloha však nepožaduje stanovení odchylek, jen rovnic tečen.

Buď tedy si procvičit postup sestrojení tečny z vnějšího bodu (a odchylek takových tečen) při doplnění souřadnice dle Petákové (nebo jinak si doplnit souřadnici, jen aby bod nebyl uvnitř paraboly), nebo si ověřit zadání u učitele.

maver · 14. 05. 2014 17:51

bod T je dán navíc kromě rovnice paraboly a rovnice tečny z tabulek) také x souřadnicí vektorového tvaru tečny (T-M).
D by mělo být rovno 0.

Bumboombum · 14. 05. 2014 18:10

↑ jelena:
Učitel zadaval příklad z petakove ale bod si zřejmě vymyslel...

jelena · 14. 05. 2014 18:21

↑ maver:

bohužel, v zadání máme, že bod M má souřadnici $x=1$ , y nemáme, rovnice tečny muže mít tvar $y=kx+q$ a prochází bodem M a bodem na parabole. Potom platí:

$y_M=k\cdot 1+q$ - přímka prochází bodem M
$(kx_T+q)^2-4x_T+2(kx_T+q)+9=0$ - parabola prochází bodem T, kterým také prochází stejná přímka.

Máme 2 rovnice (+ podmínka, že D=0), ale 4 neznámé, alespoň tak to vidím.

Učitel zadaval příklad z petakove ale bod si zřejmě vymyslel...

nejspíš jen nepozornost. Pokud nikdo ze spolužáků nemá lepší zadání, si procvič tuto úlohu s doplněním bodu + některou jinou úlohu na odchylku tečen.

zdenek1 · 14. 05. 2014 21:06

↑ jelena:
Příklad je korektně zadaný! (i když je to poněkud překvapující - aspoň pro mě)
Předpokládejme tečnu ve tvaru $y=kx+q$ , dosazením souřadnic bodu M dostaneme $q=y_0-k$
Dosazením do rovnice paraboly
$(kx+q)^2-4x+2(kx+q)+9=0$
a po úpravě
$k^2x^2+2(kq+k-2)x+q^2+2q+9=0$
Diskriminant
$\frac D4=(kq+k-2)^2-k^2(q^2+2q+9)=0$
zase úprava
$2k^2+k(y_0-k)+k-1=0$
$k^2+(y_0+1)k-1=0$ (*)
Protože odchylka přímek ve směrnicovém tvaru je $\tan\varphi =\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|$
a podle Vietových vztahů v (*) je $k_1k_1=-1$ (a diskriminat (*) je vždy kladný)
budou obě tečny kolmé bez ohledu na hodnotu $y_0$

Krása.

Bumboombum · 14. 05. 2014 21:23

↑ zdenek1:
Mohl by jste mi prozradit jakou jste proved úpravu ? Mě to vychází krapet jinak ...

Bumboombum · 14. 05. 2014 21:27

k $^{2}$ x $^{2}$ +2kxq+q $^{2}$ -4x+2(kx+q)+9=0
Nemýlím se ?

jelena · 14. 05. 2014 21:45

↑ zdenek1:

To je zcela nečekaný zvrat :-) Ruská stránka píše, že "взаимно-перпендикулярные касательные пересекаются на директрисе параболы", tak to ještě dokázat a bude to. Předpokládáš, že to pan učitel použil záměrně?

Bumboombum · 14. 05. 2014 21:49

↑ jelena:
V současné době mi jde spíš o to pochopit postup jenž zdenek1 zneužil

zdenek1 · 14. 05. 2014 22:11

↑ Bumboombum:
To je jen roznásobení závorek a sloučení členů se stejnou mocninou
$k^{2}x^{2}+2kxq+q^{2}-4x+2(kx+q)+9=0$
$k^2x^2+2kqx+2kx-4x+q^2+2q+9=0$ a u členů s $x$ vytkneš dvojku a $x$
Tím dostaneš kvadratickou rovnici k klasickém tvaru

Bumboombum · 14. 05. 2014 22:28

↑ zdenek1:
Děkuji za rady ale mě nedává smysl ani zbytek výpočtu. Bych to potřeboval vidět postup abych pochopil celý pochod

jelena · 15. 05. 2014 00:23

↑ Bumboombum:

kolega Zdeněk zvolil jinou taktiku, než jsme si představili s kolegou ↑ Takjo: - že nenajdeme směrnici jednotlivých tečen, tedy úloha nejde řešit, ale že rovnou najde odchylku těchto přímek.

Potom už dosazoval a upravoval. D/4 je spíš úsporný krok úprav, můžeš počítat D=... a potom upravit. Řekla bych, že podstatný byl ten první krok pochodu (jak řekl klasik "jinou cestou").

Matematické Fórum

#1 14. 05. 2014 14:24

Odchylka tečen k parabole z bodu M

#2 14. 05. 2014 16:00

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#3 14. 05. 2014 16:16

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#4 14. 05. 2014 16:20

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#5 14. 05. 2014 16:30

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#6 14. 05. 2014 16:33

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#7 14. 05. 2014 16:36

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#8 14. 05. 2014 16:52

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#9 14. 05. 2014 17:02

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#10 14. 05. 2014 17:14

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#11 14. 05. 2014 17:14

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#12 14. 05. 2014 17:33

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#13 14. 05. 2014 17:49

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#14 14. 05. 2014 17:51

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#15 14. 05. 2014 18:10

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#16 14. 05. 2014 18:21

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#17 14. 05. 2014 21:06

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#18 14. 05. 2014 21:23

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#19 14. 05. 2014 21:27

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#20 14. 05. 2014 21:45

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#21 14. 05. 2014 21:49

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#22 14. 05. 2014 22:11

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#23 14. 05. 2014 22:21 Příspěvek uživatele Bumboombum byl skryt uživatelem Bumboombum.

#24 14. 05. 2014 22:28

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

#25 15. 05. 2014 00:23

Re: Odchylka tečen k parabole z bodu M

Zápatí