Matematické Fórum

Čau

A jaké volíš zjednoduššující podmínky?
Já osobně bych volil:
1. Zanedbáváme vliv ostantních těles, zejména slunce
2. Vztažnou soustavu spojenou v počátku se zemí lze považovat za inerciální
3. Kosmonaut se během pádu nevychýlí z přímé trajektorie.

Je to takhle možné? Pokud ne tak jaké podmínky uvažuješ ty?
Pokud ano, tak zkus tento postup (nevím kolik toho víš z derivací, diferenciálních rovnic atd. takže kdyžtak řekni a snad sem ten postup dám celý):

1. Napiš zachování energie, rychlost zapiš jako derivaci vzdálenosti od země podle času
2. Tím dostáváš diferenciální rovnici se separovatelnými proměnými
3. Separuj proměnné
4. Stranu s časem integruj od nuly do času t (námi hledaný čas) a stranu se vzdáleností od počáteční do koncové.

Problém je, že daný integrál nejspíš nepůjde spočítat analyticky a bude ho potřeba řešit numericky.

Pokud ale zvolíme další zjednoduššující předpoklad, který když uvážíme, výsledek se radikálně zjednodušší a navíc to půjde spočítat pomocí čistě středoškolské matematiky:
(4) Místo času, kdy dopadne kosmonaut na zem, určíme čas, za který by kosmonaut spadl do středu země kdyby byla všechna hmota země soustředěna v jednom bodě.
NEvím jestli je tento přepoklad oprávněný, kdyby poloměr Země byl dostatečně menší než vzdálenost Země a Měsíce, bylo by možné toto uvažovat ale nevím jak daleko je Země od Měsíce

Pokud by tě zajímalo toto řešení spíš než předchozí (výhoda že to lze vyřešit analyticky) tak řekni a rozepíšu to více...

↑ Pavel Brožek:
Jo, taky jsem si myslel, že by to bylo nějak takhle. Kdyby to bylo tak, že by toho kosmonauta něco jakoby zastavilo v oběhu (ve smyslu že by měl najednou nulovou rychlost vůči středu Země), jak tomu původně rozuměl ↑ Brzls:, tak ten čas t by se dal zjistit ze třetího Keplerova zákona: a^3/(a/2)^3=T^2/t^2, kde a je vzdálenost Země od Měsíce a T je siderický měsíc, takže by vyšlo, že t=2^(3/2)T≈77 dní. Vzdálenost Země od Měsíce je asi šedesátkrát větší než poloměr Země, takže mi to přijde jako dobrý odhad. Ale stejně mi to přijde dlouho, myslím tím 77 padat :)

↑ Brzls:
Pravda.