Matematické Fórum

Honzinho1999 · 15. 05. 2014 19:12

Dobrý den,
Existuje univerzální vzorec pro vypocitani obsahu všech čtyrúhelníku??
Děkuji

Vašek · 15. 05. 2014 19:22 — Editoval Vašek (15. 05. 2014 19:23)

Ahoj.
Vzorec pro výpočet obsahu čtyřúhelníka je
$S=\frac{1}{2}u_{1}u_{2}\cdot sin \varepsilon$
kde epsilon je úhel, který mezi sebou úhlopříčky svírají (užívaný je především u čtyřúhelníků, kde jsou úhlopříčku na sebe kolmé)
Jinak ještě triangulací (rozdělení na trojůhelníky) je to možno zjisti pro konvexní čtyřůhelníky, užívané v programování.

Honzinho1999 · 15. 05. 2014 19:59

Slyšel jsem že to lze přes vektorový součin je to pravda??

Vašek · 15. 05. 2014 20:32

Je to pravda :-)
Vektorový součin je pojem v analytické geometrii, kde je výsledkem nový vektor
značí se se $|a × b| = |a|*|b|*sin/alpha$
kde $|a|$ $,|b|$ je vektor (délka strany) a $sin\alpha$ je úhel, který svírají.
dá se užít buď na úhlopříčky, nebo u rovnoběžníků na vzorec $S=ab\cdot sin\beta$ , tedy obsah je roven součinou dvou stran a sinu úhlu, jejž svírají

Honzc · 16. 05. 2014 07:38

↑ Honzinho1999:
Vyorečků existuje celá řada.
Pro obecný n-úhelník (a tedy i čyřúhelník)
1.je-li umístěn v kartézském souřadném systému a jeho vrcholy jsou $M_{i}=(x_{i},y_{i}),i=0..n,x_{0}=x_{n},y_{0}=y_{n}$
pak $P=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}(x_{i}\cdot y_{i+1}-x_{i+1}\cdot y_{i})$
2.Jako součet obsahů dvou trojúhelníků
$P=\frac{1}{2}\left( \begin{Vmatrix} x_{A} & y_{A}& 1\\ x_{B} & y_{B}& 1\\ x_{C} & y_{C}& 1 \end{Vmatrix}+ \begin{Vmatrix} x_{A} & y_{A}& 1\\ x_{C} & y_{C}& 1\\ x_{D} & y_{D}& 1 \end{Vmatrix}\right)$
3. znáš-li délky stran a,b,c,d a k tomu ještě něco, třeba délku úhlopříčky e=AC
Pak opět obsahy dvou trojúhelníků s délkami stran a,b,e a e,c,d
Na výpočet obsahů využiješ dvakrát Heronův vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníka
$P=\sqrt{s_{1}(s_{1}-a)(s_{1}-b)(s_{1}-e)}$ kde $s_{1}=\frac{a+b+e}{2}$
a $P=\sqrt{s_{2}(s_{2}-c)(s_{1}-d)(s_{2}-e)}$ kde $s_{2}=\frac{c+d+e}{2}$

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2014 19:12

Univerzální vzoreček

#2 15. 05. 2014 19:22 — Editoval Vašek (15. 05. 2014 19:23)

Re: Univerzální vzoreček

#3 15. 05. 2014 19:59

Re: Univerzální vzoreček

#4 15. 05. 2014 20:32

Re: Univerzální vzoreček

#5 16. 05. 2014 07:38

Re: Univerzální vzoreček

Zápatí