Matematické Fórum

gaba.horakova · 15. 05. 2014 20:34

Ahojte, chtěla bych poprosti o pomoc s tímto příkladem. Těleso o hmotnosti 280 g je zavěšeno na pružině o tuhosti 15,2 N/m. V čase t0 = 0 s se nachází 1,00 cm pod rovnovážnou polohou a pohybuje se rychlostí 20,0 cm/s směrem dolù. Kde se bude nacházet v čase t = 1,1 s? ....Děkuji moc za pomoc

Jakub1 · 16. 05. 2014 07:55

Treba poznať vzťahy pre kmitavý pohyb:
$y=y_m \sin (\omega t+\varphi )$
$v=y_m \omega \cos (\omega t+\varphi )$
$a=-y_m \omega^{2} \sin (\omega t+\varphi )=-y\omega ^{2}$

A rovnako pre kmitanie mechanického oscilátora:
$\vec F=\vec F_G +\vec F_p$ , kde F je výsledná sila a Fp je sila pružiny v zmysle Hookovho zákona, F_G je tiažová sila telesa
$F=F_G-F_p=mg-k(\Delta l+y)$

V rovnovážnej polohe je nulové zrýchlenie, čiže platí:
$F_G=F_p$
$mg=k(\Delta l+0)$

Po dosadení:
$F=mg-k(\Delta l+y)=mg-mg-ky=-ky$

Podľa II. NPZ platí:
$F=ma=-ky$ a po dosadení zrýchlenia z kmitavého pohybu platí:
$-m\omega ^{2}y=-ky$

Z toho
$\omega =\sqrt\frac{k}{m}$

V čase $t=0$ je okamžitá výchylka $y=-0,01m$ . Teda môžeme napísať:
$y=y_m\sin (0+\varphi )$ z toho $y_m=\frac{y}{\sin\varphi }$

Ak je v čase $t=0$ daná rýchlosť $v=0,2m/s \vee v=-0,2 m/s$ , potom platí:
$v=\omega y_m\cos(0+\varphi )$

Odtiaľ sa dá vypočítať fáza:
$\tan \varphi =\sqrt\frac{k}{m} \frac{y}{v}$
(ak si nie som istý, ktorý prípad je ten "moj", stačí, ak si nakreslím fázorové diagramy pre všetky prípady – kladná rýchlosť a záporná rýchlosť a vypočítam 2 hodnoty fázy)

Každopádne dostávam, že pre "môj" prípad platí:
$\varphi =3,49 rad=200,22^\circ$ a $v=-0,2m/s$

Vypočítam $y_m;y_m=0,029 m$
Dosadím do vzorca: $y=y_m \sin(\sqrt\frac{k}{m}t+\varphi )$

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2014 20:34

Těleso na pružině

#2 16. 05. 2014 07:55

Re: Těleso na pružině

Zápatí